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Beispiel Integral
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cavalera66
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 23:23:36    Titel: Beispiel Integral

Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung geht durch die Punkte P(0|3/2) und Q (4|-5/2). Im Punkt Q hat die Kurve die Steigung 2. Diese Parabel 4. Ordnung wird in ihren Wendepunkten von einer Parabel 2.Ordnung berührt. Diskutiere die beiden Kurven, berechne den Flächeninhalt des zwischen den Kurven liegenden flächenstücks und fertige eine Zeichnung an.



Kann mir bitte bei diesen Beispiel jemand helfen!

Mfg
Max
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 23:35:48    Titel:

Hallo cavalera66,

hier schon mal der Anfang.

symmetrisch zur y-Achse => nur gerade potenzen

f(x) = ax^4+bx^2+c

Geht durch Punkt (0;3/2) => c = 3/2

Geht durch Punkt (4;-5/2)
f(4) = 256a + 16b + 3/2 = -5/2 | -3/2
256a + 16b = -4 |:4
64a + 4b = -1 (1)

Steigung in Q von 2

f'(x) = 4ax^3+2bx
f'(4) = 4*64a+2*4b = 2
256 a + 8b = 2 | :2
128a + 4b = 1 (2)

(2) -(1) =
64a = 2 => a=1/32

64a + 4b = 64/32 + 4b = 2 + 4b = -1 => b = -3/4

f(x) = x^4/32 - 3/4x^2 + 3/2 = 0

Gruß
Dirk
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 23:47:27    Titel:

Jetzt nochmal die Extremstellen und Wendepunkte

f'(x) = 1/8x^3 - 6/4x = (1/8x^2-6/4) x

x1 = 0 x2 = Wurzel(12) x3=Wurzel(12)

Bei x1 lokales Maximum. Bei x2 und x3 lokales Minimum

Wendepunkte

f''(x) = 3/8x^2 - 6/4 = 0
x^2 = 6*8/(3*4) = 4
x1,2 = +- 2

Wendepunkte bei x=-2 und x=2 => W1(-2,-1) und W2(2,-1)

Tangente bei x=2 und X=-2
f'(2) = 1/8*2^3 - 6/4*2 = 1-3 = -2
f(2) = 1/8*(-2)^3 - 6/4*(-2) = 2

Gruß
Dirk
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 23:58:46    Titel:

Jetzt noch die Parabel.

f(x) = ax^2+b

f'(x) = 2ax

f'(2) = 2*a*2 = 4a = -2 => a = -1/2

f(2) = -1/2*2^2 + b = -2 + b = -1 => b = 1

f(x) = -1/2x^2 + 1



Gruß
Dirk
cavalera
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Mai 2005 - 14:50:59    Titel:

Danke Dirk
Das ist perfekt!

Mfg

cavalera66[/b]
cavalera66
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Mai 2005 - 20:48:34    Titel: Fläche

Wie berechnet man die Fläche zwischen den beiden Parabeln?
Mein Ergebnis ist nicht korrekt!

Bitte um Hilfe

Mfg
Max
DMoshage
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 18:39:49    Titel:

Hallo

Funktionen integerieren

Parabel 2.Gerades
f(x) = -1/2x^2 + 1
Int f(x) = F(x) = -1/6x^3 + x +C

F(2) - F(-2) = 2/3 - (-2/3) = 4/3
Parabel 4.Grades
f(x) = x^4/32 - 3/4x^2 + 3/2
int (f(x) = F(x) = x^5/32*4 - 3/12x^3 + 3/2x +C
F(x) = x^5/128 - 1/4x^3 + 3/2x
F(2) - F(-2) = 5/4 - (-5/4) = 5/2

Differenz bilden

5/2 - 4/3 = 7/6

Gruß
Dirk
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