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Partialbruchzelegung mit biss
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123Maddin123
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Anmeldungsdatum: 13.07.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 09:26:42    Titel: Partialbruchzelegung mit biss

Hallo,

ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter....

40/x^3-2x^2+16x-32dx

so die einfache Nullstelle habe ich schon raus A/x-2
Die Polynomdivision ebenfalls (x-2)*(x^2+16)

weiter habe ich

40/(x-2)*(x^2+16)=A/(x-2)+Bx+C/(x^2+16)
A=2
B=-2
C=-4

40/x^3-2x^2+16x-32=2/x-2+(-2x)-4/x^2+16

Nun die Substitution: 2/x-2+-2x-4/x^2+16dx

2/x-2=int.2dn/u = 2ln/u/+C1
2ln(x-2)+C1 Bis hier ist es richtig
und ab hier muss ich passen.....
-2x-4/x2+16 Hier soll was mit tan rauskommen??? laut unseres Profs.
Question
Danke für die Hilfe
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 10:37:08    Titel:

int[(-2) * (x + 2)/(x² + 4²) dx]
-> Substitution, x = 4 * t

Anschließend bringst du das Integral auf die folgende Gestalt:
int[a/(t² + 1) + bx/(t² + 1) dt]



Tipp: d/dt arctan(t) = 1/(t² + 1)
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1889
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 11:06:15    Titel: als Bestätigung

Sorry, wollte nicht reinfummeln, aber der SERVER hat erst jetzt Audienz gewährt...
∫ 40÷(x³-2·x²+16·x-32) ·dx: Die Nenner-Nullstellen sind 2, ±4·i.
Der PBZ-Ansatz lautet 40÷[(x-2)·(x²-16)] = A÷(x-2) +(B·x+C)÷(x²+16).
Multiplikation mit dem Hauptnenner (x-2)·(x²-16) ergibt die Gleichung 40 = A·(x²+16) +(B·x+C)·(x-2). Wird hier 2 für x eingesetzt, dann folgt A = 2.
Wird dagegen 4·i für x eingesetzt, dann folgt eine komplexe Gleichung mit Realteil -16·B-2·C = 40 und Imaginärteil -8·B +4·C = 0.
Dies kleine LGS kann nach B = -2, C = -4 aufgelöst werden. Damit folgt 40÷(x³-2·x²+16·x-32) = 2÷(x-2) -(2·x+4)÷(x²+16).
Bis hier hat 123Maddin123 alles richtig gemacht.

Stammfunktionen (α = 2, β = 4):
∫ A÷(x-α) ·dx = A·ln|x-α| +const. [Lineare Substitution]
∫ (B·x)÷(x²+β²) ·dx = ∫ ½·B· (2·x)÷(x²+β²) ·dx = ½·B· ln|x²+β²| +const. [Zähler ist Ableitung des Nenners, →Logarithmische Integration]
∫ C÷(x²+β²)·dx = β·C·∫ ÷(β²·z²+β²) ·dz = C÷β ·∫ 1÷(z²+1) ·dz = C÷β ·atan(z) +const. = C÷β ·atan(x÷β) +const.
[Substitution: z := x÷β → x = β·z → dx = β·dz. Hier kann die bekannte Ableitung {atan(z)}' = 1÷(z²+1) verwendet werden.]

Einsetzen: → ∫ 40÷(x³-2·x²+16·x-32) ·dx = 2·ln|x-2| -ln|x²+16| -atan(x÷4) +const.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 14 Jul 2009 - 11:22:13, insgesamt 2-mal bearbeitet
123Maddin123
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Anmeldungsdatum: 13.07.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2009 - 10:54:52    Titel: Noch Unstimmigkeiten

Danke für die schnellen Antworten, sie haben mir sehr geholfen. Es gibt da nur noch kleine Unstimmigkeiten.... bei B integration wo bleibt das 1/2 und wo kommt das minus vor ln in der Lösung her.

Und bei C integration wo kommt das Minus als Vorzeichen vor dem a tan her. Im Lösungsweg steht c/ß. Wenn ß=4 ist, müsste c=-4 sein....warum
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1889
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2009 - 11:23:14    Titel: Zitat

123Maddin123 schrieb:
Zitat:
B=-2
C=-4
Very Happy
123Maddin123
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Anmeldungsdatum: 13.07.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2009 - 17:51:59    Titel:

Ah na klar.... Shocked

So noch eine Frage, woher haben wir a=2 und ß=4.

Danke
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1889
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 15 Jul 2009 - 14:08:32    Titel: Für...

...eine generelle Darstellung der Stammfunktionen hatte ich die 2 durch α und 16 durch β² ersetzt, also die beiden Symbole α und β eingeführt.
Das muß beim Lösen von Aufgaben, falls nicht explizit verlangt, selbstverständlich nicht so gemacht werden.
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