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Bandpass 2.Ordnung Grenzfrequenzen
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DrIAcula
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Anmeldungsdatum: 20.07.2009
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2009 - 07:06:02    Titel: Bandpass 2.Ordnung Grenzfrequenzen

Ich denk mir, dass die frage schon öfters gestellt wurde hab jedoch leider nichts mit der Suchfunktion und auch nicht mit google gefunden.

und zwar hab ich einen bandpass 2.ordnung und würde gerne die bauteile für die frequenzen:
untere grenzfrequenz... 100Hz
obere grenzfrequenz... 10kHz
dimensionieren.

Die Schaltung von Wikipedia
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Band_pass_filter.svg[/img]

Müsste ich die Übertragungsfunktion aufstellen und schauen für welche bauteilwerte ich -3dB erhalte um die grenzfrequenz zu erhalten. Weiß nicht genau wie ich das angehen soll. Und könnte mir auch bitte wer die Übertragungsfunktion posten komm nicht auf das gleiche funktion wie auf wikipedia.

edit:

ich hab mir mal folgendes überlegt. hab meine übertragungsfunktion

Ua/Ue = 1/(1+-(1/jwC)+jwL+R)

Ua/Ue müsste 10^(-3/20) sein hab die -3dB umgerechnet und bekomm 0,708 heraus.

wenn ich jetzt die obere und untere frequenz in das w(2*pi*f) einsetzte und Ua/Ue mit 0,708 ersetze erhalt ich 2 Formeln und hab 3 variablen. fehlt mir jetzt noch ne dritte formel die ich übersehe oder gehe ich die sache von der falschen seite an?

mfg und danke im voraus
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2009 - 09:44:55    Titel: eine Grösse wählbar

Die Kettengleichung für das gegebene Zweitor lautet [; \begin{bmatrix}\underl{U}_e\\\underl{I}_e\end{bmatrix} \ = ;][;\ \begin{bmatrix}1&\frac{1}{\mathrm{j}\cdot\omega\cdot C}\\0&1\end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}1&\mathrm{j}\cdot\omega\cdot L\\0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&0\\\frac{1}{R}&1\end{bmatrix};][;\cdot\begin{bmatrix}\underl{U}_a\\\underl{I}_a\end{bmatrix};].
Bei sekundärseitigem Leerlauf [; \underl{I}_a = 0 \mathrm{A} ;] kann der ersten Gleichung von [; \begin{bmatrix}\underl{U}_e\\\underl{I}_e\end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underl{U}_a\\0 \mathrm{A}\end{bmatrix} ;] die gewünschte Übertragungsfunktion [;\frac{\underl{U}_a}{\underl{U}_e} = \frac{1}{a_{11}} ;] entnommen werden.
Matrix-Multiplikation etc. führt auf [; a_{11} = 1 + \mathrm{j}\cdot \frac{\omega^2 \cdot L \cdot C-1}{\omega \cdot R \cdot C} ;] und die gesuchte Übertragungsfunktion [; \frac{\underl{U}_a}{\underl{U}_e} = \frac{\omega^2\cdot R^2 \cdot C^2 + \mathrm{j}\cdot\omega\cdot R \cdot C \cdot (1-\omega^2 \cdot L \cdot C)}{1-2\cdot\omega^2\cdot L\cdot C+\omega^2\cdot C^2 \cdot (\omega^2 \cdot L^2 + R^2)} ;].
(Die komplexe Übertragungsfunktion lässt sich auch durch Einsetzen von Quer -und Längs- Impedanzen in die Spannungsteiler-Regel ermitteln.)
Gleichsetzen des Betragsquadrates der Übertragungsfunktion mit ½ entspricht der Gleichung [; |a_{11}|^2 = 2 ;]. Auflösen ergibt [; \omega_{u,o} = \mp\frac{R}{2 \cdot L} +\sqrt{(\frac{R}{2 \cdot L} )^2+\frac{1}{L \cdot C}} ;].
Wie DrIAcula erwähnte, sind jetzt da 2 Gleichungen und drei Unbekannte, daher kann eine der drei Grössen gewählt werden.

EDIT: Alternativ lassen sich obere und untere Grenzfrequenz aus den Bedingungen [; \mathrm{Re}(a_{11}) = \mathrm{Im}(a_{11}) ;] und [; \mathrm{Re}(\overl{a}_{11}) = \mathrm{Im}(\overl{a}_{11}) ;] bestimmen.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 20 Jul 2009 - 15:15:56, insgesamt 4-mal bearbeitet
DrIAcula
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Anmeldungsdatum: 20.07.2009
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2009 - 13:58:14    Titel:

danke für die antwort. wenn ich einen wert annehme komm ich auf eine lösung denk ich muss ich erst mal ausprobieren (:

kann die formel die du gepostet hast leider nicht sehen... ka warum zeigt mir nur ieinen code an ...
[; \begin{bmatrix}\underl{U}_e\\\underl{I}_e\end{bmatrix} \ = ;][;\ \... u.s.w.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2009 - 14:05:39    Titel: TeX

Calculus hat das Vorgehen in diesem Fred vorgestellt.
Wer diesen Browser verwendet, kann dies addon und jenes script installieren, um das TeX gerendert zu erhalten.
Der Formel oben folgen übrigens z. B. [;\omega_o - \omega_u \ = \ \frac{R}{L} ;] und [; \omega_o + \omega_u \ = 2 \cdot \sqrt {(\frac{R}{2 \cdot L})^2 + \frac{1}{L \cdot C}} ;]. Da könnte jetzt z. B. [; R ;] gewählt und zunächst [; L = \frac{R}{\omega_o-\omega_u} ;] berechnet werden. Einsetzen dieses [; L ;] in die zweite Gleichung und Umstellen liefert dann [; C = \frac{1}{R}\cdot\frac{\omega_o-\omega_u}{\omega_o\cdot\omega_u} ;].
gnuplot>
Code:

f1 = 100           
f2 = 10000         
w1 = 2*pi*f1       
w2 = 2*pi*f2       
a11(w) = 1 +{0,1}*(w/(w2-w1)-w2*w1/((w2-w1)*w))   
l10(z) = log(z)/log(10)
e10(z) = exp(log(10)*z)
set xrange [l10(f1):l10(f2)]
set terminal png
set output 'b.png'
set samples 1024
plot arg(1/a11(2*pi*e10(x))), 20*l10(abs(1/a11(2*pi*e10(x)))), 20*l10(1/sqrt(2)), -pi/4, pi/4, 0

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