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Trapez mit Extremwert des Flächeninhalts
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Gast







BeitragVerfasst am: 10 Mai 2005 - 19:35:07    Titel: Trapez mit Extremwert des Flächeninhalts

Ich habe das jetzt schon nachgemalt und alles.
A(trapez) = 1/2 * (a+c) * h

Das Trapez hab ich auch rausgefunden und für die Strecken habe ich ...
a=BC
c=DA
h=AB

Die Punkte wären dann doch:
A(u/0)
B(2u/0)
C(2u/f(u))
D(u/f(u))

Und ich habe das jetzt alles zur Zielfunktion gemacht und komme auf:

A(u) = -1/3*u^4 + 4*u^2 - 3*u

Wenn ich jetzt aber die Ableitungen machen will, komme ich nicht weiter, weil ich die erste Ableitung nicht NULL setzen kann um den Extrempunkt zu bestimmen, weil da A'(u) = -4/3*u^3 + 8*u - 3 rauskommt als erste Ableitung und ich weiß nicht, wie ich die Nullstellen errechnen soll.

Hier unten ist nochmal die Aufgabe. Vielleicht weiß ja einer von euch weiter !!! Wäre prima !!!


f(x) = -1/3*x^3 + 4*x - 3 = Graph G

Die Gerade mit der Gleichung x = u, 1 ≤ u ≤ 3, schneidet die x-Achse im Punkt A und den Graphen G im Punkt D. Die Gerade mit der Gleichung x = 2u, 1 ≤ u ≤ 3, schneidet die x-Achse im Punkt B und den Graphen G im Punkt C. Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Trapezes. Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhalts dieses Trapezes in Abhängigkeit vom Parameter u. Anmerkung: Diese Gleichung kann auch als eine Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des maximalen Flächeninhalts angesehen werden.
Orion
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 00:08:33    Titel:

Hey,

Dein Problem ist etwas komplizierter, als es zunaechst aussieht.

Die Wahl der Punkte sieht soweit gut aus, bis auf Punkt C, der auf C(2u/f(2u)) liegen sollte.

Ein Problem ist, dass Graph G zwischen 1 und 3 positiv ist, aber bei 3 die x-Achse schneidet. Entsprechend musst Du fuer die Laenge BC den Betrag einsetzen, bzw. -f(2u) fuer u>1.5

Rechnung (allerdings u.U. mit Fehlern, also besser nachrechnen) ergibt fuer 1<u<1.5
A = -3/2u^4 + 6u^2 -3

Das abgeleitet ist -6u^3 + 12 u, was einfach nach null aufzuloesen ist, weil Du u ausklammern kannst, und dann nur noch ein quadratischer Term uebrig bleibt. Einziger Kandidat innerhalb der Definitionsmenge fuer u ist sqrt(2). (Ist das vielleicht das max? Habs nicht geprueft).

Fuer 1.5<u<3 ergibt sich
A = 7/6u^4 - 2u^2

Abgeleitet: 14/3u^3 - 4u = 0
u = +/- sqrt(6/7) was betragsmaessig kleiner ist als 1 und deshalb ausserhalb des Definitionsbereichs.

Blieben noch die Grenzen zu untersuchen, naemlich u = 1, u = 1.5 und u = 3. Selber mal nachpruefen...

Hoffe, das hilft.

Gruss,

Nikolas
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