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linear abhängig oder nicht?
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ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 10 Mai 2005 - 21:24:27    Titel: linear abhängig oder nicht?

Muss folgende Aufgabe lösen:

Soll die folgenden Teilmengen von IR^4 auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit untersuchen:

(a) M1: (1,1,1,1),(0,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)
(b) M2: (1,2,0,0),(0,2,3,0),(0,0,3,4)
(c) M3: (0,1,0,0),(-1,0,1,0),(0,-1,0,1),(0,0,-1,0)

Kann mir jemand beim Ansatz von einen von denen Helfen, die restliche krieg ich dann viell selber hin?
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 10 Mai 2005 - 22:39:58    Titel:

Hi!

Die folgende Seite hilft dir bestimmt weiter.

http://de.wikipedia.org/wiki/Linear_unabh%C3%A4ngig

Bei Fragen melde dich nochmal!

Gruß
sunshine_
ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 13:41:24    Titel:

Also ich hab jetzt bei (a) angefangen mit:
a(1,1,1,1)+b(0,0,1,1)+c(1,1,0,1)+d(1,1,1,0) = (0,0,0,0)
(a+c+d, a+c+d, a+b+d, a+b+c) = (0,0,0,0)

a+b+d = a+b+c
d = c

a+c+d = a+b+c
d = b, b = c

a+c+d = +a+c+d
0 = 0

(a) ist also linear unabhängig?

Dann (b):
a(1,2,0,0)+b(0,2,3,0)+c(0,0,3,4) = (0,0,0,0)
(a, 2a+2b, 3b+3c, 4c) = (0,0,0,0)

a = 0

4c = 0
c = 0

2a+2b = 0
2b = 0
b = 0

Somit also auch linear unabhängig?

Und für (c):

a(0,1,0,0)+b(-1,0,1,0)+c(0,-1,0,1)+d(0,0,-1,0) = (0,0,0,0)
(-b, a-c, b-d, c) = (0,0,0,0)

c = 0

-b = 0
b = 0

a-c = a-0 = 0
a = 0

b-d = 0
-d = 0
d = 0

ebenfalls linear unabhängig?

Ist das richtig, oder muss ich mich nochma ransetzen?
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 23:03:25    Titel:

Hi!

wie kommst du auf diese Zeile?
ellocko hat folgendes geschrieben:

a+b+d = a+b+c
d = c



Das geht meiner Meinung nach so nicht.
Okay, schreibe dir den Weg mal für a) auf!

a(1,1,1,1) + b*(0,0,1,1)+c*(1,1,0,1)*d(1,1,1,0)=(0,0,0,0)

=> (mit Gauß)

1 0 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

<=>

1 0 1 1
0 0 0 0
0 -1 1 0
0 -1 0 1



1 0 1 1
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 -1 0 1


<=>
1 0 1 1
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 -1 1

<=>

1 0 1 1
0 1 -1 0
0 0 1 -1
0 0 0 0

=> d ist frei wählbar
=> c=d
=> b=d
=> a=-2d

=> da d jeden Wert annehmen kann, ist die Menge linear abhängig.
(hinter jede Kasten muss noch je Zeile ein Strich und eine 0 hin, hast eine solche schreibeweise bestimmt schon gesehen)
Hm, habe jetzt leider keine Zeit mehr für b), c),
wenn du die Aufgabe nicht zu morgen brauchst, würde ich mich morgen noch an b und c machen,
vielleicht kannst du es jetzt anhand meines Weges nachvollziehen und selber schaffen.

Sorry, weiß leider nicht, mit welchen Programm ich den Gauß schöner aufschreiben kann.
Hoffe, dass es auch so klappt.

Gruß
suunshine_
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 14:15:50    Titel:

Hi!

M2 und M3 sind linear unabhängig!
Gleiche Verfahren wie bei a)

Gruß
sunshine_
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 14:43:26    Titel:

ellocko hat folgendes geschrieben:
Also ich hab jetzt bei (a) angefangen mit:
a(1,1,1,1)+b(0,0,1,1)+c(1,1,0,1)+d(1,1,1,0) = (0,0,0,0)
(a+c+d, a+c+d, a+b+d, a+b+c) = (0,0,0,0)

a+b+d = a+b+c
d = c

a+c+d = a+b+c
d = b, b = c

a+c+d = +a+c+d
0 = 0

(a) ist also linear unabhängig?

Prinzipiell kann man das so machen, nur hast Du noch gar keine Aussage über a getroffen. 0=0 ist zwar eine wahre Aussage hat aber gar keine Aussagekraft über a, b, c oder d.
Ich würde am Ende so weitermachen:
a+c+d = 0
a = -c-d = -2c
Jetzt hat man Aussagen über alle Variablen. Leider führt das zu:
Sei a aus R\{0}, dann sind:
-1/2*a=b=c=d

a(1,1,1,1)+b(0,0,1,1)+c(1,1,0,1)+d(1,1,1,0) = (0,0,0,0)
(a+c+d, a+c+d, a+b+d, a+b+c) = (0,0,0,0)
(a+(-1/2*a)+(-1/2*a), a+(-1/2*a)+(-1/2*a), a+(-1/2*a)+(-1/2*a), a+(-1/2*a)+(-1/2*a)) = (0,0,0,0)

Das ist eine nicht-triviale Lösung der Gleichung und damit sind die Vektoren in (a) linear abhängig.
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