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mathe lk klausur 12/2
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julian
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 08:52:13    Titel: mathe lk klausur 12/2

Moin moin allerseits. Ich hab hier mal die vorraussichtlich nächste Matheklausur aus unserem 12er Lk reingesetzt Wink Da könnt Ihr Euch ja vielleicht maln bischen abreagieren - mal sehen, was dabei rauskommt! würd mir bestimmt helfen?! gruß julian


A1
Gegeben sind die Punkte O (0/0/0), B (0/1/0), Pa (a/0/a) und Qa (1-2a/a/a) mit aER.
a) Stelle aus den Geradenscharen ga und ha , wobei ga durch die Punkte O und Qa und ha durch die Punkte B und Pa gehen, die Gleichungen der Geraden für a = 0,5 auf und untersuche, ob sich die Geraden schneiden.
b) Zeige die lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren der Geradenscharen ga und ha für jedes aER. Welche geometrische Bedeutung hat diese Feststellung?
c) Für welchen Wert von a besitzen die Geraden ga und ha einen Schnittpunkt?

A2
Gegeben sind die Punkte A (0/5/4), B (1/7/4) und C (1/5/5).
a) Zeige, dass diese Punkte eine Ebene E1 eindeutig bestimmen. Berechne eine mögliche Ebenengleichung.
b) Gegeben ist eine weitere Ebene E2 durch

E2 : (Vektor x) = [-2; 1;4] + r[2;2;1] + s[0;2;-1] ; r,sER

Untersuche die Lage der Ebenen E1 und E2 zueinander.

A3
Es sei (Vektor u), (Vektor v) und (Vektor w) eine Basis im R3.
Zeige: (Vektor a) = 2v – 3w, (Vektor b) = 3v + 2w, (Vektor c) = u sind dann auch eine Basis von R3.

Falls dieses nicht allgemein gelingt:

Zeige:
1) u = [-1;1;0] , v = [0;2;-2] , w = [-2;1;4] bilden eine Basis im R3.
2) Ebenso bilden dann a, b und c eine Basis.


A4
Das Gleichungssystem
I x + 2y + 3z = -5
II x + 3y + 2z = b
III x + 4y + az = 5b

lässt sich mit Hilfe des Gaußverfahrens auf folgende Diagonalform bringen:
(Umrechnung muss nicht durchgeführt werden)
1 2 3 ; -5
0 1 -1 ; b + 5
0 0 -1 +a ; 2b

Existieren Zahlen a,bER, so dass das Gleichungssystem
1) nicht lösbar 2) genau 1 Lösung hat oder 3) undendlich viele Lösungen hat ?
(Begründungen nicht vergessen)


A5
Gegeben ist das Gleichungssystem

2x +5y +3z = 1
x + 3y + 2z = -2
-3x -8y -4z = 3

a) Bestimme die Lösungsmenge mit dem Gaußschen Verfahren
b) Warum ist dieses System auch über die inverse Koeffizientematrix lösbar?
nOOOb
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 10:07:25    Titel:

was kommt denn bei dir so raus? sieht ja alles machbar aus Smile aber soooo viel....., keine zeit im moment. Sad
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 13:28:13    Titel:

A1
Gegeben sind die Punkte O (0/0/0), B (0/1/0), Pa (a/0/a) und Qa (1-2a/a/a) mit aER.
a) Stelle aus den Geradenscharen ga und ha , wobei ga durch die Punkte O und Qa und ha durch die Punkte B und Pa gehen, die Gleichungen der Geraden für a = 0,5 auf und untersuche, ob sich die Geraden schneiden.
g_(0,5)=O + x*(Q_(0,5)-O)
=x*(0/0,5/0,5)
h_(0,5)=B + y*(P_(0,5)-B)
=(0/1/0) + y*(0,5/-1/0,5)

g=h
=> x*(0/0,5/0,5) = (0/1/0) + y*(0,5/-1/0,5)
Das führt zu drei Gleichungen
x*0=0+y*0,5
x*0,5=1+y*(-1)
x*0,5=0+y*0,5
Aus der ersten folgt: y=0. Dann folgt aus der zweiten Gleichung: x=2. Das widerspricht der dritten Gleichung. Also folgt, daß sich die Geraden nicht schneiden.

b) Zeige die lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren der Geradenscharen ga und ha für jedes aER. Welche geometrische Bedeutung hat diese Feststellung?

Der Richtungsvektor von ga ist (Qa-O)=(0/a/a), der von ha ist (Pa-B)=(a/-1/a).
Annahme: Die Richtungsvektoren sind für irgendein a linear abhängig. Dan gibt es ein a€R und ein z€(R\{0}), so daß
(0/a/a)=z*(a/-1/a).
Macht wieder drei Gleichungen:
0=z*a
a=z*(-1)
a=z*a
Aus der dritten folgt: z=1. Dann folgt aus der zweiten: a=-1. Das widerspricht der ersten Gleichung. Also ist die Annahme falsch.
Demnach sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Geometrisch bedeutet das, daß ga und ha für kein a€R parallel laufen.

c) Für welchen Wert von a besitzen die Geraden ga und ha einen Schnittpunkt?

Es muß gelten: ga=ha
=> x*(0/a/a) = (0/1/0) + y*(a/-1/a)
Also
x*0=0+y*a
x*a=1+y*(-1)
x*a=0+y*a
Aus der ersten folgt: a=0 oder y=0.
Annahme: y=0
Dann folgt aus der zweiten: x ungleich 0, a ungleich 0, x=1/a. Das widerspricht der dritten Gleichung. Also ist die Annahme falsch.
Also ist a=0.
Dann folgt aus der zweiten Gleichung: y=1. Das widerspricht nicht der dritten Gleichung.
Also besitzen die Geraden eine Schnittpunkt für a=0.
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 15:22:42    Titel:

A2
Gegeben sind die Punkte A (0/5/4), B (1/7/4) und C (1/5/5).
a) Zeige, dass diese Punkte eine Ebene E1 eindeutig bestimmen. Berechne eine mögliche Ebenengleichung.
Drei Punkte bestimmen eine Ebene eindeutig, wenn sie nicht in einem Punkt zusammenfallen und nicht auf einer Gerade liegen.
Daß sie nicht in einem Punkt zusammenfallen ist offensichtlich.
Annahme: A, B und C liegen auf einer Geraden. Dann gilt:
C = A+x*(B-A).
Also
1=0+x*1
5=5+x*2
5=4+x*0
Die dritte Gleichung stellt einen Widerspruch dar. Also liegen die Punkte nicht auf einer Geraden und damit spannen sie eine Ebene auf, wobei einer der Punkte der Stützvektor ist und zwei linear unabhängie Differenzen von je zweien der drei Punkte die Richungsvektoren liefern.
Die möglichen Wahlen von Stützvektoren beschreiben alle die gleiche Ebene, daß kann man so zeigen:
y*(B-A)+x*(C-A)=y*(B-A)+(-x)*(A-C)=(-y)*(A-B)+x*(C-A)=(-y)*(A-B)+(-x)*(A-C)
=y*(B-A)+(x+y-y)*(C-A)
=y*(B-A)+(-y)*(C-A)+(x+y)*(C-A)
=y*(B-A)+y*(A-C)+(x+y)*(C-A)
=y*(B-A+A-C)+(x+y)*(C-A)
=y*(B-C)+(x+y)*(C-A)
=y*(B-C)+(x+y)*(C-A)=y*(B-C)+(-(x+y))*(A-C)=(-y)*(C-B)+(x+y)*(C-A)=(y)*(B-C)+(x+y)*(C-A)
=(y-x-y+x+y)*(B-C)+(x+y)*(C-A)
=(y-x-y)*(B-C)+(x+y)*(B-C)+(x+y)*(C-A)
=(-x)*(B-C)+(x+y)*(B-C+C-A)
=(-x)*(B-C)+(x+y)*(B-A)=(-x)*(B-C)+(-x-y)*(A-B)=x*(C-B)+(x+y)*(B-A)=x*(C-B)+(-x-y)*(A-B)
Um E1 zu erhalten braucht man noch einen Stützvektor und die Stützvektorenwahl ist auch egal:
B+(y-1)*(B-A)+x*(C-A)
=A+(B-A)+(y-1)*(B-A)+x*(C-A)
=A+(y+1-1)*(B-A)+x*(C-A)
=A+y*(B-A)+x*(C-A)
=A+y*(B-A)+(x+1-1)*(C-A)
=A+(C-A)+y*(B-A)+(x-1)*(C-A)
=C+y*(B-A)+(x-1)*(C-A)
Folglich ist die E1 durch A, B und C eindeutig bestimmt.
Eine möglich Ebenengleichung ist
E1=A+x*(B-A)+y*(C-A)
E1=(0/5/4)+x*(1/2/0)+y*(1/0/1)
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