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Integral Flächenbeispiel
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cavalera66
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 16:09:11    Titel: Integral Flächenbeispiel

Eine Parabel 4.Ordnung mit der Gleichung y= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e hat in P1(0|7) einen Wendepunkt und berührt die x-Achse im Punkt P2(1|0). Der Flächeninhalt des Flächenstückes, das vom Graphen der Parabel und den beiden Koordinatenachsen zwischen P1 und P2 gebildet wird, beträgt 2,7. Wie lautet die Gleichung der Parabel?


Bitte um Hilfe

Mfg

Max
DMoshage
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 23:14:03    Titel:

Hallo cavalera66,

Ich gebe dir mal die Bedingungen aus dem Text vor.

Code:
Eine Parabel 4.Ordnung mit der Gleichung y= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e hat in P1(0|7) einen Wendepunkt


Es gibt also einen Punkt der Funktion mit f(0) = 7. Daraus läßt sich schon die erste Unbekannte bestimmen.

Und dieser Punkt ist Wendepunkt. Das heißt f''(0) = 0. Daraus folgt schon der nächste Parameter.
Zitat:

berührt die x-Achse im Punkt P2(1|0).


Wieder eine Doppelbdeutung. Es gibt einen Punkt der Funktion mit f(1) = 0.
Dieser Punkt berührt die X-Achse. Also ist die 1. Ableitung an dieser Stelle 0. f'(1) = 0

Code:
Der Flächeninhalt des Flächenstückes, das vom Graphen der Parabel und den beiden Koordinatenachsen zwischen P1 und P2 gebildet wird, beträgt 2,7.

Dazu benötigen wir das Integeral von f(x) also F(x). Der Flächeninhalt im Intervall [0;1] soll dann 2,7 sein . => F(1) - F(0) = 2,7

Damit sind folgende 5 Bedingungen aufzustellen.

f(0) = 7
f''(0) = 0
f(1) = 0
f'(1) = 0
F(2) - F(0) = 2,7

Fünf Gleichungen für 5 Unbekannte. Wie schon erwähnt werden zwei Unbekannte mit den ersten beiden Bedingungen gelöst. Dann bleiben noch 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten über.

Versuch mal den Ansatz. Wenn du nicht weiterkommst melde dich.

Gruß
Dirk
cavalera66
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Mai 2005 - 15:59:37    Titel:

Ich hab keinen Plan!

Bitte um Hilfe

Mfg
Max
DMoshage
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 13 Mai 2005 - 18:05:22    Titel:

Hallo Max,

f(0) = 7

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
f(0) = a*0 + b*0 + c*0 + d*0 + e = 0 => e=0

f''(0) = 0

Ich bilde zuerst die 1. Ableitung
f'(x) = 4ax^3+3bx^2+2bx +d
f'(0) = 4a*0 + 3b*0 + 2c*0 + d = 0 => d=0

f(1) = 0
f(1) = a*1+b*1+c*1 = a+b+c = 0 // d und e sind ja schon 0

f'(1) = 0
f'(1) = 4a*1 + 3b*1 + 2c*1 = 4a + 3b + 2c = 0


F(2) - F(0) = 2,7
Zuerst das allgemeine Integral bilden
F(x) = a/5*x^5 + b/4*x^4 + c/3*x^3
F(2) = a/5*32 + b/4*16 + c/3*8
F(0) = a/5*0 + b/4*0 + c/3 * 0 = 0
F(2) - F(0) = 32/5 a + 4 b + 8/3 c = 2,7

Jetzt musst du nur noch folgende drei Gleichung mit 3 unbekannten lösen um a,b und c zu erhalten.

(1) a+b+c = 0
(2) 4a + 3b + 2c = 0
(3) 32/5 a + 4 b + 8/3 c = 2,7

Gruß
Dirk
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