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Aufgabe mit Wendepunkte
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JR
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 18:36:19    Titel: Aufgabe mit Wendepunkte

Hallo,
ich habe die Funktion f(x)=x*(x²-a)*(x²-b). Bei dieser Aufgabe soll ich zeigen das sie drei Nullstellen besitzt. Wie mache ich das?
Ich hab erstmal das ganze im ersten Schritt aufgelöst zu f(x)=2x³-ax-bx. Aber jetzt weiss ich nicht weiter.
JR
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 18:42:09    Titel:

Achne das mit dem Auflösen ist Sinnlos, Sorry , aber trotzdem wie löse ich das
JR
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 18:46:19    Titel:

Achso und das soll auch nicht heissen Nullstellen sondern Wendepunkte Very Happy
Hiob
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2005 - 19:10:31    Titel:

JR hat folgendes geschrieben:
Hallo,
ich habe die Funktion f(x)=x*(x²-a)*(x²-b). Bei dieser Aufgabe soll ich zeigen das sie drei Wendestellen besitzt. Wie mache ich das?
Ich hab erstmal das ganze im ersten Schritt aufgelöst zu f(x)=2x³-ax-bx. Aber jetzt weiss ich nicht weiter.


Wie kommst Du auf f(x)=2x³-ax-bx ?

Hmm. Also ich hab gelernt, die zweite Ableitung Null zu setzen und die Lösungen mit der dritten Ableitung zu testen.
f(x)=x*(x²-a)*(x²-b)=x^5 - ax³ - bx³ + abx
f'(x)=5x^4 - 3ax² - 3bx² + ab
f''(x)=20x³ - 6ax -6bx
f'''(x)=60x² - 6a -6b

f'' Nullsetzen
0=20x³ - 6ax -6bx
0=20x(x²-(0,3a+0,3b))
0=20(x-0)(x-(0,3a+0,3b)^(1/2))(x+(0,3a+0,3b)^(1/2))
Damit ergeben sich als Lösungen 0, -(0,3a+0,3b)^(1/2) und (0,3a+0,3b)^(1/2).
In f''' eingesetzt.
f'''(0)=-6a-6b
f'''(-(0,3a+0,3b)^(1/2))=12a+12b
f'''((0,3a+0,3b)^(1/2))=12a+12b

Es gibt also drei Wendepunkte über den Nullstellen der dritten Ableitung, falls a+b>0.
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