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Für Interessierte: Aufgaben Bundeswettbewerb Mathematik, 2.
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cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2009 - 21:13:00    Titel: Für Interessierte: Aufgaben Bundeswettbewerb Mathematik, 2.

Hallo!

Da der Einsendeschluss nun vergangen ist, veröffentliche ich hier mal die Aufgaben für all diejenigen, die sich selbst einmal versuchen wollen. Smile

Deshalb (und damit auch eventuelle Nachzügler im laufenden Wettbewerb keine Vorteile erhalten) bitte hier ersteinmal (bis sagen wir Ende der Woche) keine Lösungen, oder auch Ansätze dazu veröffentlichen!

Also hier die Aufgaben:

Aufgabe 1:
Zu Beginn eines Spiels liegen in drei Kisten 2008, 2009 bzw. 2010 Spielsteine. Anja und Bernd führen Spielzüge abwechselnd nach folgender Regel durch:
Wer am Zug ist, wählt zwei Kisten aus, entleert sie und verteilt danach die Spielsteine aus der dritten Kiste neu auf die drei Kisten, wobei keine Kiste leer bleiben darf.
Wer keinen vollständigen Spielzug mehr ausführen kann, hat verloren. Wer kann den Gewinn erzwingen, wenn Anja anfängt?

Aufgabe 2:
Es sei n eine ganze Zahl, die größer als 1 ist. Beweise, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
(A) Es gibt positive ganze Zahlen a, b und c, die nicht größer als n sind und für die das Polynom ax^2+bx+c zwei verschiedene reelle Nullstellen x_1 und x_2 mit |x_1 - x_2| <= 1/n besitzt.
(B) Die Zahl n hat mindestens zwei verschiedene Primteiler.

Aufgabe 3:
Gegeben seien ein Dreieck ABC und ein Punkt P auf der Seite AB. Ferner sei Q der von C verschiedene Schnittpunkt der Geraden CP mit dem Umkreis des Dreiecks. Beweise, dass die Ungleichung

|PQ|/|CQ| <= ( |AB| / (|AC| + |CB|) )^2

gilt und dass Gleichheit genau dann besteht, wenn CP die Winkelhalbierende des Winkel ACB ist.

Aufgabe 4:
Wie viele Diagonalen kann man in ein konvexes 2009-Eck höchstens einzeichnen, wenn in der fertigen Zeichnung jede gezeichnete Diagonale im Inneren des 2009-Ecks höchstens eine weitere gezeichnete Diagonale schneiden darf?


Anmerkung: In den Aufgaben 1 und 4 ist die Richtigkeit der Resultate zu beweisen.



Dann viel Spaß beim Knobeln! Smile

Viele Grüße
Cyrix
cauchy
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Anmeldungsdatum: 17.02.2009
Beiträge: 687

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2009 - 21:22:18    Titel:

Hey Cyrix!

Warum hast du die Aufgaben nicht in den BWM-Thread gestellt?
Sondern einen neuen eröffnet?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2009 - 21:37:07    Titel:

Damit dann im BWM-Thread die Lösungsdiskussionen getrennt von den Aufgaben - die sich eventuell auch andere Leute anschauen wollen - laufen.

So war zumindest die Idee... Smile

Cyrix
cauchy
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Anmeldungsdatum: 17.02.2009
Beiträge: 687

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2009 - 21:59:53    Titel:

Versteh ich nicht?!

Wo wenn nicht im BWM Thread sollte man nach den Aufgaben der 2. Runde suchen????

Is aber auch egal! Ich hab sie gefunden, das allein zählt....*g*

PS: Bin grad drüber Idea Gib mir noch 10 Minuten, .................dann habe ich die Lösungen!

Soll ich sie dann in dem anderen thread posten??? Wink ..............
cauchy
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Anmeldungsdatum: 17.02.2009
Beiträge: 687

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2009 - 22:38:53    Titel:

@ cyrix:
Bist du auch in der 2. Runde Korrektor?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2009 - 10:20:00    Titel:

Wenn genügend Arbeiten eingesandt werden, dann wohl schon.

Cyrix
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