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Nullstellen berechnung
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Clive
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Anmeldungsdatum: 29.09.2008
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2009 - 08:57:55    Titel: Nullstellen berechnung

Hallo

blöde Frage..
wie berechne ich von Folgender Funktion die Nst?

x^3 - 6x^2 -4x +24 = 0

mir ist klar das es 2 ist aber wie kann ich das berechnen?
just_phil
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Anmeldungsdatum: 23.08.2008
Beiträge: 1006

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2009 - 09:36:22    Titel:

zum beispiel eine nullstelle raten und dann eine polynomdivision durchführen, womit du ein polynom zweiten grades erhälst, welches du dann mit der pq-formel lösen kannst.

man probiert meistens folgende x-werte zum erraten einer der nullstellen:

-2, -1, 0, 1, 2, 4...

angenommen, eine erratene nullstelle liegt bei 2 (hab das jetzt nicht nachgeprüft), dann rechnest du eben

(x^3 - 6x^2 - 4x + 24) : (x - 2)

es gibt zwar wohl auch lösungsformeln für polynome dritten grades, soll aber relativ kompliziert sein, habe ich mir sagen lassen. kenne auch keinen, der die zum beispiel in der schule gelernt hat.


Zuletzt bearbeitet von just_phil am 04 Sep 2009 - 09:39:32, insgesamt einmal bearbeitet
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8226
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2009 - 09:38:48    Titel:

Hallo Clive,

ne, die Frage ist gar nicht blöde. Das ist nämlich kein Schulstoff und erfordert ein wenig Spezialwissen.

Erstens:

Für alle Polynome (nicht nur 3. Grades) mit höchstem Koeffizienten 1 und ansonsten ganzzahligen Koeffizienten gilt: Wenn es ausschließlich ganzzahlige Nullstellen gibt, dann sind sie alle Teiler des absoluten Gliedes. (Das folgt ganz zwangslos aus dem Vietaschen Wurzelsatz, weil das absolute Glied das Produkt der Wurzeln ist.)

Diese Bedingung ist hier erfüllt. x³ hat den Koeffizienten 1, alle anderen sind ganze Zahlen. Dann kannst Du die Teiler von 24 einfach durchprobieren. Denke dran, daß 24 nicht nur die Teiler 1, 2, ... ,12, 24 hat, sondern auch -1, -2 usw.

Zweitens:

Wenn Du eine Lösung gefunden hast, kannst Du den zugehörigen Linearfaktor durch Polynomdivision abspalten und hast dann für die Suche nach den anderen Nullstellen ein einfacheres Polynom (in diesem Fall ein quadratisches, das Du mit der pq-Formel angehen kannst).

Drittens:

Wenn der obige Sonderfall (mit den ganzzahligen Koeffizienten und Nullstellen) nicht gegeben ist, dann gibt es immer noch ein "richtiges" Lösungsverfahren für Gleichungen 3. Grades (Stichwort: Cardano)

Dazu mußt du erstmal durch Substitution den Koeffizienten des zweithöchsten Gliedes beseitigen. Dann erneut substituieren, indem Du die Unbekannte durch eine Summe aus zwei Unbekannten u und v ersetzt. Dann nutzt Du geschickt aus, daß (u+v)³=u³+v³+3uv*(u+v) ist und bekommst eine quadratische Gleichung, die Dir als Lösungen u und v liefert. Wenn Du das hast, kannst Du alle Substitutionen rückgängig machen und hast die Nullstellen gefunden!

Dieses etwas umständliche Verfahren entspricht der quadratischen Ergänzung bei Gleichungen 2. Grades. Es wurde von Cardano im 18 Jahrhundert entdeckt. Ebenso wie sich die quadratische Ergänzung in der pq-Formel niederschlägt, kann man statt des vollständigen Verfahrens einfach die sog. Cardanischen Formeln verwenden.

Mit diesen Stichworten wirst Du bei wikipedia fündig.

Und zum casus irreducibilis, bei dem Cardano versagt, schreibe ich hier nichts. Das findest Du dort auch.

Gruß, mike
Hausmann
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Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2955

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2009 - 20:19:07    Titel:

OT
M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:
Cardano im 18 Jahrhundert

Question
Clive
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Anmeldungsdatum: 29.09.2008
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2009 - 10:40:15    Titel:

hey..herzlichen dank für die informativen Antworten!

Also nochmal kurz zusammen gefasst:
Bei einer solchen Glg kann man eigentlich nur Raten und anschließend eine Polynom Division durchführen sehen ich das richtig?

lg
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2009 - 16:17:01    Titel:

Clive hat folgendes geschrieben:
hey..herzlichen dank für die informativen Antworten!

Also nochmal kurz zusammen gefasst:
Bei einer solchen Glg kann man eigentlich nur Raten und anschließend eine Polynom Division durchführen sehen ich das richtig?

lg


oder numerische Annäherung mit Newton-Verfahren/... oder Cardano.
Clive
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Anmeldungsdatum: 29.09.2008
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 08 Sep 2009 - 08:49:45    Titel:

ja dies beherrsche ich leider nicht!

Eine Frage hätte ich noch..

ist das immer so bei Glg in der Art x^3 - 6x^2 -4x +24 = 0 wenn der Exponent von 3 auf 0 fällt?
Dune89
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Anmeldungsdatum: 31.03.2009
Beiträge: 160

BeitragVerfasst am: 08 Sep 2009 - 09:23:56    Titel:

Ja ist es, wenn allerdings bei ax^3+bx²+cx+d d=0 ist kannst du ausklammern und hast dann x*(ax²+bx+c) = 0 dann is N1=(0|0) und N2,3 kannst mit Mitternachtsformel ausrechnen...
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