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Komplexe aufgabe
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The Ripper164
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 13:40:48    Titel: Komplexe aufgabe

Hi,

ich hab da n kleines Smile problem mit einer Aufgabe:

Ein Zaun darf Insgesamt 40 m lang sein wie müsste ich ihn aufstellen das er die Maximale Fläche einzeunt???

danke schon ma im voraus Very Happy
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 13:57:27    Titel:

Also: Ich nehme mal an, dass ein Quadrat gemeint ist.

Dann gilt:

I A = a*b
II 40=2a+2b => a = 20-b in I:
A(b)=-b^2+20b
A'(b)=-2b+20
A''(b)=-2

Extremstellen: A'(x)=0 und A''(x) <> 0 ist immer gegeben, wenn A'(x)=0 eine Lösung hat.

0 = -2b+20
b=10
A''(10) < 0 => Maximum
Somit ist der maximale Flächeninhalt 100m^2

Leider stellt ein Kreis nochmal alles in den Schatten

40=2*Pi*r
r=20/Pi
A=400/Pi^2*pi=400/Pi ungefähr 127,32...

Kann man allgemein beweisen, dass ein Kreis immer den größten Flächeninhalt liefert bei gegebenem Umfang??
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 14:06:56    Titel:

Ok 100m^2
danke Very Happy
Hiob
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 14:07:51    Titel:

Ist doch klar.
Weil die Abweichung der Punkte der Kreisfunktion minimale Schlupfe zur Funktion der Punkte des Durchschnittsradius haben, nämlich Nullschlupfe.
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 14:57:34    Titel:

logisch hast du recht, aber auch rechnerisch ist es recht einfach.

Wir haben einen Umfang U gegeben und wollen möglichst viel Fläche mit einem Rechteck einzäunen. Daraus folgt:

A=a*b; U=2a+2b => a = U/2-b : I
A(b)=(U/2-b)*b = -b^2+bU/2
A'(b)=-2b+U/2
A''(b)=-2 (hieraus folgt, dass jede Lösung von A'(b)=0 ein Maximum ist)
0=-2b+U/2
b=U/4

Für den maximalen Flächeninhalt ergibt sich wg I
A_max= U/4*(U/2-U/4) = U/4 * (2U/4-U/4) = U/4 * U/4 = U^2/16

Beim Kreis komme ich auf A_max = U^2/(4*Pi)
wg: U=2*Pi*r
r=U/(2*Pi)
A=U^2/(4*Pi^2)*Pi=U^2/(4*Pi)

Jetzt kann ich die Behauptung U^2/(4*Pi) > U^2/16 aufstellen...
U^2/(4*Pi)>U^2/16 | :U^2 für U <> 16
1/(4*Pi)>1/16 die Aussage ist wahr, also ist bei gegebenem Umgfang der Kreis immer größer
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 12 Mai 2005 - 16:11:29    Titel:

wahrscheinlich kann man über die Aufgabe sogar noch länger nachdenken. Als nächstes muss man beweisen, dass jedes regelmäßige n-Eck kleiner ist als ein Kreis, bzw. gegen einen Kreis konvergiert. Dann kämen die unregelmäßigen n-Ecke... Hat dafür jemand nen Link?
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