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Vollständige Induktion
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Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 09 Sep 2009 - 20:52:32    Titel: Vollständige Induktion

Ich glaube, ich stehe grade etwas auf dem Schlauch. Im Mathe-Vorkurs hat der Professor das Beweismittel der Vollständigen Induktion erklärt, was vom Prinzip ja nicht schwer zu verstehen ist. Aber der Beweis der Bernouilleschen Ungleichung bereitet mir irgendwie Kopfzerbrechen.

Ich schreib einfach mal gekürzt das auf, was geschrieben wurde:

a € Q (rationale Zahl)
n € IN (nat. Zahl)
Für a >= -1 gilt (1+a)^n >= 1 + na

Ind.anfang: n = 0 erfüllt

Ind.schluss: Wir beweisen die Ungleichung für n + 1 unter der Voraussetzung, dass sie für n gilt.

(1+a)^(n+1) = (1+a)^n * (1+a) >= (1+na)(1+a)

= 1+(n+1)a+na^2 >= 1+(n+1)a

qed.

Den Schluss verstehe ich eben nicht richtig, kann mir jemand davon vielleicht jeden Schritt erklären? Ich wäre sehr dankbar, dann könnte ich auch endlich die Übungsaufgaben erledigen.

mfg Archivarius
müscha
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Anmeldungsdatum: 08.01.2009
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 09 Sep 2009 - 23:05:53    Titel:

Hi!

Nehmen wir erst mal eine einfachere Ungleichung a>=b. Diese kannst du auf beiden Seiten mit einem c>=0 erweitern, womit sich ac>=bc ergibt. Und dies hat dein Prof. mit der Bernoullieschen Ungleichung gemacht, er hat sie auf beiden Seiten mit 1+a erweitert. So steht dann da
(1+a)^n*(1+a) = (1+a)^(n+1) >= (1+na)(1+a )= 1+(n+1)a+na^2 und dies ist >= 1+(n+1)a, da na^2 >= 0 ist.

Hoffe ich konnte dir helfen.
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