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Grenzwert (fast 1) hoch Unendlich
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Covolt
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Anmeldungsdatum: 10.09.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 18:34:55    Titel: Grenzwert (fast 1) hoch Unendlich

Gegegen ist eine Zahlenfolge


a_n = ( (-2n+5) / (2-2n) )^n

Gesucht der Grenzwert für n gegen Unendlich.

wenn man einfach mal 1 Mrd. für n einsetzt, kommt man auf

0,222907...

auch ein Funktionsplotter zeigt eine waagerechte Linie für n gegen Unendlich.
aber wie kommt man da drauf?

vielen Dank !
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 18:41:51    Titel:

Forme den Term doch mal ein wenig um (Polynomdivision), dann kommt man auf den Grenzwert e^(-3/2)
Covolt
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Anmeldungsdatum: 10.09.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 18:58:18    Titel:

man kann zwar die -3/2 irgendwo erkennen nach der Polynomdivision.



(1 + 3/ (-2n + 2) ) ^n

aber wie bringt man das dann in Verbindung mit e

lim ( n + 1/n)^n

?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 19:00:25    Titel:

Du kannst noch im Nenner -2 ausklammern und dann in den Zähler bringen. Am einfachsten sollte es dann mittels Substitution, n - 1 =: k <=> n = k + 1 sein.
Covolt
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Anmeldungsdatum: 10.09.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 19:34:29    Titel:

hab bissl im Forum gesucht, weil ich nicht noch eine dumme Frage stellen wollte.

aber warum kann ich n+1 dann im Nenner "ignorieren" und substitutieren.
Wann erfolgt die Rücksubstitution?

Mit der Exponentialreihe ist nur der Grenzwert e^x bewiesen.

e^x = lim (1 + x/n) ^n

Muss man bei der Aufgabe beweisen, dass dies auch für

lim (1 + x/(n+c)) ^n

gilt?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 19:57:47    Titel:

Es ist unerheblich ob man lim[n -> ∞]{a_n} oder lim[n -> ∞]{a_{n + c}} betrachtet, der Grenzwert wird dadurch nicht verändert. Deswegen kannst du n + c = k, also n = k - c setzen und erhältst:

(1 + x/k)^(k - c) = (1 + x/k)^k * (1 + x/k)^(-c)

Da lim[k -> ∞]{(1 + x/k)^(-c)} = 1 ist der Grenzwert der Folge e^x.
Covolt
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Anmeldungsdatum: 10.09.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2009 - 21:02:49    Titel:

ich danke Dir recht herzlich...
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