ZZ: Sei K Teilmenge R^n, t € R. Dann ist auch K(t) = {x€R^(n-1) : (x,t)^(tr) €K} kompakt.
Für Kompaktheit gilt ja abgeschlossen und beschränkt und in unserem Skript haben wir einen Satz, wonach abgeschlossene Teilmengen kompakt sind. Daher würde ich gerne die Abgeschlossenheit zeigen. Eine Möglichkeit wäre ja das offene Komplement zu zeigen.
Kann mir jemand bitte einen kleinen Schubser in die richtige Richtung geben, wie man beginnen muss ?
ok.. also ich glaube, dass ich zeigen muss, dass der Rand von K(t) in K liegt.
Aber wie gehe ich das an ???
edit: Ok, da t€R ist und R nicht kompakt, wird die Aufgaben natürlich noch einfacher.. naja, wenn jmd. eine Idee hat, wäre ich ihm für diese dankbar.. _________________ Ich habe keine besondere Begabung, sondern bin nur leidenschaftlich neugierig (A.Einstein).
cyrix42 God of Posting Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 21410
Verfasst am: 08 Okt 2009 - 01:55:35 Titel:
Hallo!
Nun, du sollst ja zeigen, dass, wenn man ein Kompaktum auf eine Hyperebene projeziert, man wieder einen kompakten Schatten erhält. (Das Projezieren ist ja gerade das "Vergessen" der letzten Koordinate t.)
Nur, damit du mal eine Vorstellung davon bekommst, was du eigentlich machen sollst.
Da wir uns hier im endlich-dimensionalen befinden, können wir ganz einfach mit dem Folgenkriterium für Kompakta arbeiten: Kannst du eine Aussage, die mit Folgen arbeitet, nennen, die äquivalent zur Kompektheit einer Menge sind?
vielen Dank für die Antwort!
Das mit dem Projezieren bzw. das "Vergessen der Koordinate t" verstehe ich nicht ganz. Die Teilmenge hat ja eine Dimension weniger, jedoch zugleich die Variable t zusätzlich. Was genau bewirkt denn dieses t ?
Also laut Skript ist eine Teilmenge einer kompakten Menge, dann auch kompakt, wenn sie abgeschlossen ist. Und Abgeschlossenheit arbeitet ja vorzüglich mit Folgen/Grenzwerten.. meintest du das ?
Vg
PS: Ich kenne Projektion aus dem Stegreif nur aus der Vektorrechnung aus der Oberstufe.. lineare Algebra haben wir ja nur 1 Semester.. aber ich guck trotzdem mal nach ^^ _________________ Ich habe keine besondere Begabung, sondern bin nur leidenschaftlich neugierig (A.Einstein).
cyrix42 God of Posting Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 21410
Verfasst am: 10 Okt 2009 - 15:06:26 Titel:
Du hast nicht eine Koordinate mehr, sondern weniger. Das t ist ja die letzte Koordinate eines Punktes aus K, und die lässt du einfach weg.
Es ist, ich habe nochmal kurz nachgeschaut, keine Projektion, sondern genauer gesagt, der Schnitt von K mit der Hyperebene, die dadurch definiert ist, dass die letzte Koordinate t ist.
Und löse dich mal von "kompakt = beschränkt und abgeschlossen". Schaue dir besser die Definition von Folgenkompaktheit an. Damit geht der Spaß hier wesentlich schneller.
mh.. woran auch immer man das erkennt, was das darstellen soll ;p
aber es könnte passen, denn die nächste Aufgabe ist ein Kegel..
ok, ich seh mal nach, was wir da so hatten.
Danke nochmal! _________________ Ich habe keine besondere Begabung, sondern bin nur leidenschaftlich neugierig (A.Einstein).
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Das t ist ja die letzte Koordinate eines Punktes aus K, und die lässt du einfach weg.