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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 15:14:05 Titel: (-16)^(1/4) in Gauss'scher Zahlenebene darstellen |
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Hallo,
ich frage mich wie ich dahin komme
z = (-16)^(1/4) auf den Winkelhalbierenden darzustellen
z = r * e^(i*phi) (<-- nennt sich das Polar- oder Exponentialform, oder ist das synonym?)
der Betrag ist 2?
weiter weiss ich nich :/
P.S.: Auf der Suche nach dem inversen Element in |C gelangt man (zufällig ?) zu z * z_ = (a+ib) * [(a-ib)/(a²+b²)] = 1
<=> z * z_ = (a+ib) * (a-ib) = a²+b² = |z|²
Was steckt alles in der Gleichung ?? Wieso dieser zusammenhang zw. z und konjugiert komplexen Zahl ? Versteh den Hintergrund nich, wieso das so ist.. |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 15:47:46 Titel: |
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| Zitat: | z = (-16)^(1/4)
auf den Winkelhalbierenden darzustellen
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z = r * e^(i*phi) =>
z^4 = (r^4)* e^(i*4*phi) = (-16) = 16* e^(i*(180° + k*360°)) =>
r^4=16 => r=2
phi = (180° + k*360°) /4 = 45°+ k*90° ... für k=0,1,2,3
daher :
auf den Winkelhalbierenden darzustellen
ok? |
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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 16:15:08 Titel: |
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danke mathefan, so
(-16)^(1/4) = (-1)^(1/4) * 16^(1/4) ?
wenn ich den real und den imaginärteil wissen will, muss ich denn nich +-i oder so verwenden ?
Was steckt hinter der konjugiert komplexen Zahl, sie hat den gleichen Realteil und ist betragsmässig gleich, sonst noch was ? |
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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 20:09:20 Titel: |
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Ok, gleicher Spaß, diesmal die i^(1/3)
z = r * e^(i*phi)
z³ = r³ * e^(3i*phi) = i = (1 oder i  ) * e^(i*(Pi/2+k*2Pi))
r³ = i --> r =
phi = Pi/6+k*2/3 Pi
z = * e^(i*(P/6+k*2/3 Pi) ; phi € (0; 2Pi] => k € {0;1;2} |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 20:33:53 Titel: |
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| Zitat: |
z³ = r³ * e^(3i*phi) = i = (1 oder i Question) * e^(i*(Pi/2+k*2Pi)) 
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wenn du die Lösungen von z³ = i suchst,
dann wirst du jede der beiden Seiten zuerst in Polarform darstellen:
mit z = r * e^(i*phi) erhältst du z³ = r³ * e^(3i*phi) für die linke Seite
auf der rechten Seite steht die gegebene Zahl i ..(im obigen Beispiel wars -16)
nun suchst du für i den Betrag .. der ist |i|=1
und den Winkel .. der ist (Pi/2+k*2Pi)
also ist i= 1* e^(i*(Pi/2+k*2Pi))
und nun müssen links und rechts
1) die Beträge (das sind immer reelle Zahlen!) übereinstimmen .. und
2) die Argumente übereinstimmen..
also bekommst du die zwei Gleichungen:
1) r³ = 1 --> r = 1
2) (3*phi) = (Pi/2+k*2Pi) --> phi = Pi/6 + 2kPi/3 .. für k=0,1,2
jetzt alles klar?
Kontrollfrage:
warum kann das nicht sein:
| Zitat: | r³ = i 
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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 20:45:30 Titel: |
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Ja gut, ich dachte ich müsse die 3te Wuzel von i berechnen. Beträge sind reell, ok. Danke dir, dann hammas, machn wa den Laden dicht.
Ps. Wollte z mit Real- und Imaginärteil darstellen müsste ich erst über die eulersche identität bzw r*tan(phi) gehen, oder? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 20:58:27 Titel: |
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| Zitat: | | Ja gut, ich dachte ich müsse die 3te Wuzel von i berechnen. |
Denken ist zwar meistens eine gute Idee
nun,
mit den Lösungen von z³ = i hast du die 3ten Wuzeln von i 
| Zitat: | Ps. Wollte z mit Real- und Imaginärteil darstellen
müsste ich erst über t*tan(phi) gehen, oder?  |
z³ = i -->
z1= 1*[cos(30°) + i*sin(30°)] = 0,5*√(3) + 0,5*i
z2= ..
z3= ..
nebenbei: das sind drei Eckpunkte eines dem Einheitskreis |z|=1
einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks
ok |
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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:41:57 Titel: |
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| was ist dann sqrti ? +- sonstwas ? |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:55:03 Titel: |
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| Zitat: | | was ist dann sqrti ? |
du willst die Lösungen von z^2= i ?
z^2 = i
r^2 * e^(i* 2*phi) = 1 * e^(i*(Pi/2+k*2Pi))
schaffst du das nun vielleicht selber weiter ? .. -> .....
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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:14:47 Titel: |
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r² = 1 => r = 1
wieso gibts hier keine fallunterscheidung mehr ?
also r_1/2 = +-1, nun gut Beträge sind immer positiv, aber in den Polarkoordinaten kann r(phi) durchaus negative Werte annehmen. |
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mathefan
Senior Member
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8716
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:33:19 Titel: |
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| Zitat: | | wieso gibts hier keine fallunterscheidung mehr ? |
Mann, die Fallunterscheidung kommt doch dann erst beim Argument..
(also beim Winkel .. du wirst zwei Möglichkeiten bekommen) 
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r ist ein Betrag
und Beträge haben die schöne Angewohnheit, positiv zu sein 
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Jizzer
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590
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| Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:39:27 Titel: |
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| je me couche, gutes näschtle |
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