arctan

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

hallo,
ich soll zeigen, dass die funktion:
f(x)=arctanx+arctan(1/x), x>0, konstant ist; wie groß ist die konstante?

danke

FeynmanFan · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2008 Beiträge: 653

Tipp: Bilde mal f'(x). Sollte f'(x) identisch Null sein, dann kann man rückwärts etwas über f aussagen.

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

hallo danke für deine antwort
f'(x)= 1/(10+x²) + 1/(1+x²)= 2/(x²+1)
ich habe meine rechenschritte hier weggelassen (viel zu tippen)
vielleicht kann das ergebnis ja jmd überprüfen ? bin mir nicht sicher ob es richtig ist ...habe arctan funktionen noch nicht sehr lange ...

nun soll das gleich 0 sein sagst du ? meinst du damit das die ableitung dieser funktion als ergebnis 0 rauskommen müsste? dann hätte ich was falsch gemacht ?

FeynmanFan · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2008 Beiträge: 653

[quote="Don Ghibli"]
f'(x)= 1/(10+x²) + 1/(1+x²)= 2/(x²+1)

...dann hätte ich was falsch gemacht ?[/quote]

Ja.
(arctanx)' = 1/(1+x^2)
[arctan(1/x)]' = 1/[1+(1/x)^2] * (-1/x^2) (Stichwort Kettenregel)

Macht insgesamt: f'(x)=1/(1+x^2) + 1/[1+(1/x)^2] * (-1/x^2)

und weiter vereinfacht ergibt sich 0.

MfG

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

stimmt da habe ich mich vertan danke

was kann man nun aber über f aussagen was wiederum zeigen würde das f konstant is ?

ach verstehe wenn die ableitung einer funktion identisch 0 ist zeigt dies dass die funktion konstant sein muss ?

nun bleibt aber noch offen wie groß die konstante ist ?

Calculus · Senior Member Anmeldungsdatum: 02.01.2008 Beiträge: 5076 Wohnort: Bochum

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

könntest du mir mal das ganze (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) vorrechnen? ich habe davon noch nie was gehört ...

was mache ich mit dem arc ? also ich kann ja für tanx verschiedene x werte einsetzen aber mir is noch nicht ganz klar wie ich einen wert ausrechnen kann wenn ich den arc mit drinne hab ...

Calculus · Senior Member Anmeldungsdatum: 02.01.2008 Beiträge: 5076 Wohnort: Bochum

Gegeben sei eine stetige Funktion f(x) deren Ableitung f'(x) = 0 ist. Angenommen f(x) ist nicht-konstant. Dann existieren x1, x2 ∈ D mit x1 ≠ x2 und f(x1) ≠ f(x2). Damit ist jedoch f(x2) - f(x2) ≠ 0, also auch (f(x1) - f(x2))/(x1 - x2) = k ≠ 0. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert damit ein x0 ∈ [x1, x2] mit f'(x0) = k, im Widerspruch dazu, dass f'(x) = 0.

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

vielen dank für deine hilfe nun verstehe ich die aufgabe

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237

Einsetzen wäre doch viel zu einfach:

arctan x + arctan(1/x) = k

Gesucht: k

arctan x = phi1 ist jener Winkel in einem Rechwinkligen Dreieck mit der Gegenkathete x und Ankathete 1.

arctan (1/x) = phi2 ist der dritte Winkel im Dreieck (der zweite ist 90°) mit der Gegenkathete 1 und der Ankethete x.

Phi1 + Phi 2 + 90° = 180°

phi1 + phi2 = 90°

Und somit

arctan x + arctan(1/x) = pi/2

Das gilt für x> 0.

Für x < 0 kann man sich die Symmetrie der Arkustangensfunktion zu Nutze machen.

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

@Deniz: danke für den guten einfall