Home   FAQ   Regeln   Suchen    Registrieren   Login Rechnung mit komplexen Zahlen     Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Rechnung mit komplexen Zahlen   Autor Nachricht ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:05:03    Titel: Rechnung mit komplexen Zahlen Abend an alle, habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht ganz zurecht komme: ich komme mit den strichen über den z's nicht klar, womit ich nicht genau weiß, was nun der Hauptnenner ist. ist es: 4-4i oder 4+4i oder (4-4i)(i-7) oder (4+4i)(i+7) oder was ganz anderes und wenn eins von dene oder nicht, warum? Meine eine Lösung ist nun: 73 + 33i /4-4i ein Freund von mir hat: wurzel 32 / 32 + 14 (wenn ichs noch richtig im kopf habe) hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Grüße mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:14:07    Titel: . Zitat: ich komme mit den strichen über den z's nicht klar, mit diesen "strichen über den z's" sind die konjugiert komplexen Zahlen gemeint.. Beispiel: z= 4-4i ... z(mit dem strich über den z) = 4 + 4i jetzt alles klar? ach ja, noch was: du musst da nicht auf Hauptnenner oder so bringen, sondern die drei Beträge (das sind reelle Zahlen) einzeln berechnen und dann addieren .. ..das Ergebnis ist dann also auch eine rein reelle Zahl! ok? . Zuletzt bearbeitet von mathefan am 08 Okt 2009 - 21:29:45, insgesamt einmal bearbeitet ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:26:24    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: Beispiel: z= 4-4i ... z(mit dem strich über den z) = 4 + 4i jetz alles klar? jetzt weiß ich endlich was konjugiert heißt, kannte das Wort, aber nicht dessen Definiton, danke Dann hab ich jetzt den Hauptnenner auf 2 Möglichkeiten eingerenzt: HN1: 4+4i HN2: (4+4i)(i+7) Achja, wenn es konjugiert ist, gilt dass nur für die Erweiterung * den Hauptnenner also oder direkt für den Parameter(weiß, dass ist bisschen kompliziert, daher hier ein Beispiel): Beispiel: (z3= 4-4i) (z1=12-5i) |1/z3(konjugiert)| + |z1| heißt die Aufgabe jetzt: |1/ 4-4i| oder |1/ 4+4| bzw. muss es so sein: |1/ 4-4i| + |12-5| (Hauptnenner= 4+4i (also konjugiert jetzt)) ??? oder: |1/ 4+4i| + |12-5| (Hauptnenner= 4-4i bzw. 4+4i) ??? Hoffe du/ihr/einer kann mir den genauen Hauptnenner nennen und es mir begründen. Grüße mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:34:19    Titel: . Zitat: Dann hab ich jetzt den Hauptnenner auf 2 Möglichkeiten eingerenzt: lies nochmal, was ich dir oben schon geschrieben habe.. .. denke nach .. und vergiss endlich die Bieridee mit dem Hauptnenner ok? ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:36:56    Titel: ja das wurde von dir editiert, während ich geschrieben habe Aber danke, ich probiers mal zu rechnen, werd dann wohl entweder nacher antworten oder erst morgen. Gruß und danke PS: Also kommt als Lösung eine rein reele Zahl(wie du es sagst)? Sprich die Lösung wird kein "i" enthalten? mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:46:34    Titel: . Zitat: Sprich die Lösung wird kein "i" enthalten? richtig Beispiel : Die beiden Zahlen z2= -7+i und z2(Strich drüber)= -7 - i liegen spiegelbildlich zur reellen Achse , haben also den gleichen Betrag und es ist daher | (-7+i) / (-7 - i ) | = 1 usw.. also .. ? ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 21:53:56    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . Zitat: Sprich die Lösung wird kein "i" enthalten? richtig Beispiel : Die beiden Zahlen z2= -7+i und z2(Strich drüber)= -7 - i liegen spiegelbildlich zur reellen Achse , haben also den gleichen Betrag und es ist daher | (-7+i) / (-7 - i ) | = 1 usw.. also .. ? ah super, hast mir wieder ein wichtigen Tip gegeben, habe gedacht gehabt, dass wenn es konjugiert wird, dass aus i-7= -i+7 wird, also dass beide(bzw. alle)vorzeichen sich ändern. dass bei z2/ (strich drüber) z2 = 1 ist, bin ich auch schonmal gekommen, dann war/bin ich jetzt hier: |1/ 4+4i | + 1 + |12-5i| ab hier müsst ich doch eigtl. auf den hauptnenner gehen oder nicht?? Würd ich jetzt machen, aber laut deiner Aussage, ist dies nicht nötig, wieso? mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:04:17    Titel: . Zitat: ab hier müsst ich doch eigtl. auf den hauptnenner gehen oder nicht?? du sollst doch deinen Scheiss Hauptnenner vergessen |12-5i| .. wie weit ist der Punkt (12/-5) vom Ursprung entfernt ? (grab halt mal den Pythagoras wieder aus... ) |1/ 4+4i | musst du so schreiben: |1/ (4+4i) | erweitere 1/ (4+4i) mit (4-4i) und berechne dann den Betrag von (4-4i)/32 also...? ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:14:00    Titel: ok ich bin jetzt "IRGENDWIE" auf die Lösung: -(das minus ist vor der wurzel)(wurzel von) 31 / (32) + 14 gekommen. Wenn diese Antwort nicht stimmt, flippst wohl noch aus^^ Sei mir net sauer, hatte aber bisher nur eine VL über dieses Thema(einführung) und nu probier ich des zu üben, damit ich es kann ) Jizzer Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2009 Beiträge: 590 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:18:44    Titel: Muss man 1/(4+4i) zwangsweise erweitern um den Betrag zu bilden, ist 1/(4sqrt2) falsch ? mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:21:36    Titel: . Zitat: (wurzel von) 31 / (32) + 14 gekommen. flipp wohl noch aus .. fast.. die 14 stimmt schon mal .. aber was gibt denn | (4-4i)/32 | = ( 1/8 ) * | 1 - i | = du hast noch einen Versuch -> ... . @Jizzer: Zitat: zwangsweise erweitern um den Betrag zu bilden, ist 1/(4sqrt2) falsch köstliche Zwangsvorstellung .. nun.. mach bei deinem Ergebnis völlig zwanglos halt den Nenner noch rational .. . ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:32:21    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . Zitat: (wurzel von) 31 / (32) + 14 gekommen. flipp wohl noch aus .. fast.. die 14 stimmt schon mal .. aber was gibt denn | (4-4i)/32 | = ( 1/8 ) * | 1 - i | = du hast noch einen Versuch -> ... . Du schreibst irgendwie immer genau dann, wenn ich ein Schritt weiterkomme und diesen Schritt schreibst du dann auf, also dass was ich gerade habe schreibst du mir als Tip hin bin gerade ebenfalls aufs ausklammern gekommen, so dass ich jetzt 1/8 *|1-i| habe, ich überleg die ganze Zeit, wie ich das verdammte i wegkriegen kann -.- .... i ist ja = wurzel von -1, sprich es heißt jetzt: |(1-wurzel von -1)/8 | +14 aber ab dem moment wo das i, bzw das wurzel von -1 kommt, stockt bei mir alles O_o Wenn ich jetzt mal ganz dumm rechnen würde, würd ich die 1 unter die wurzel nehmen, so dass es heißt: |-((wurzel von) 0)/8| +14 = (0/8 )+14 = 0 +14= 14 xD mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:43:10    Titel: . Zitat: o dass ich jetzt 1/8 *|1-i| habe, ich überleg die ganze Zeit, wie ich das verdammte i wegkriegen kann -.- .... immer noch nicht mitbekommen: der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Ursrung da gibt es keine verdammten i -s zu ermorden.. Preisfrage: |1-i| <=> wie weit ist (1,-1) weg von (0,0) Jizzer Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2009 Beiträge: 590 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:44:21    Titel: wie soll ich den Nenner noch rational machen ? |z_^-1| = 2^(-5/2) = 1/(4*sqrt2) ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:45:15    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . Zitat: o dass ich jetzt 1/8 *|1-i| habe, ich überleg die ganze Zeit, wie ich das verdammte i wegkriegen kann -.- .... immer noch nicht mitbekommen: der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Ursrung da gibt es keine verdammten i -s zu ermorden.. Preisfrage: |1-i| <=> wie weit ist (1,-1) weg von (0,0) wieso nimmt der wert -i den wert -1 an und nicht -(wurzel von) -1??? das ist eben das problem, dass mein Tag verdüstert edit: aber ok, wenn ich so rechne, wie du es sagst, heißt es ((wurzel von 2) / +14 = ((wurzel von 32)/32) +14 wobe ja das erweitern dann unnötig wäre. Zuletzt bearbeitet von ufuk90 am 08 Okt 2009 - 22:52:05, insgesamt einmal bearbeitet mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:49:17    Titel: . @Jizzer Zitat: wie soll ich den Nenner noch rational machen ? erweitere den Bruch mit sqrt(2) und te couche dich dann . ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:53:39    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . @Jizzer Zitat: wie soll ich den Nenner noch rational machen ? erweitere den Bruch mit sqrt(2) und te couche dich dann . Stimmt meine Lösung jetzt? Habe mein vorherigen Beitrag editiert mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 22:58:35    Titel: . @ufuk90 Zitat: wieso nimmt der wert -i den wert -1 an und nicht -(wurzel von) -1??? was soll denn dieser Schwachsinn? du willst doch den Betrag der Zahl 1-i haben? Grundwissen: komlexe Zahl z=a+bi .. mit a,b: reell (Betrag von z ) = |z| = sqrt(a^2 + b^2) ob du nun herausfindest was denn nun |1-i| sei? .. dann wird sich dein Tag vielleicht in der Nacht noch lichten? und ..? Jizzer Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2009 Beiträge: 590 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:01:09    Titel: erweitern und zusammenfassen zu (sqrt2+112)/8 bringts auch voll -.- tu m'en fou Deniz Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:02:40    Titel: Jizzer hat folgendes geschrieben: Muss man 1/(4+4i) zwangsweise erweitern um den Betrag zu bilden, ist 1/(4sqrt2) falsch ? Nein, man muss nicht zwangsweise erweitern, denn |a/b| = |a|/|b| ufuk90 Full Member Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 154 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:04:14    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . @ufuk90 Zitat: wieso nimmt der wert -i den wert -1 an und nicht -(wurzel von) -1??? was soll denn dieser Schwachsinn? du willst doch den Betrag der Zahl 1-i haben? Grundwissen: komlexe Zahl z=a+bi .. mit a,b: reell (Betrag von z ) = |z| = sqrt(a^2 + b^2) ob du nun herausfindest was denn nun |1-i| sei? .. dann wird sich dein Tag vielleicht in der Nacht noch lichten? und ..? wie vorhin erwähnt, bin ich nicht ganz vertraut mit diesem Thema, aber dank dir komm ich Schritt für Schritt weiter(mehr oder weniger alleine, sieht mir eher danach aus, als ob du vieles errechnet hast ) ok, dann heißts ja wurzel von(1²(-1)²) also wurzel von 2, also ((wurzel von 2) / 8 ) +14 ist dies nun die endgültike lösung? Wenn nein, bin ich vollkommen erledigt und packs heut nicht mehr(wobei ja schon der neue Tag da ist ^^ mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:20:59    Titel: . jetzt wirds mühsam: @ufuk90 : Zitat: = ((wurzel von 32)/32) +14 Stimmt meine Lösung jetzt? Habe mein vorherigen Beitrag editiert ..stimmt nicht aber nun :also ((wurzel von 2) / 8 ) +14 ist dies nun die endgültike lösung? JA end gültig ! @ Jizzer Zitat: (sqrt2+112)/8 bringts auch voll -.- ok - und wieviel hast du schon getrunken? @Deniz Zitat: Nein, man muss nicht zwangsweise .. eben ..in welchem Forum sind wir denn? du darfst freiwillig mitdenken.. . Deniz Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:24:40    Titel: Hi Mathefan. Ich habe den Tip doch gegeben, warum man das nicht machen muss. Ich muss eine komplexe Zahl der Form z = (a1+ jb1)/(a2+jb2) nicht erweitern um auf z = Real + j Imaginär zu kommen. Das Erweitern habe ich mir jetzt erspart. | z | = Betrag Zähler / Betrag Nenner Also |z | = sqrt (a1^2 + b1^2) / sqrt(a2^2 + b2^2) mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:34:43    Titel: . @Deniz Zitat: Das Erweitern habe ich mir jetzt erspart. fein .. aber.. gegen Sparmassnahmen hatte ja niemand was dagegen .. nebenbei: im konkreten Beispiel wirst du halt dann am Schluss erweitern, wenn - wie üblich - der Bruch mit rationalem Nenner daherkommen will ( aber auch das: nicht zwangsweise ..) . ach ja, nebenbei : das hier ist natürlich (ohne Betragszeichen) leider nicht richtig: Zitat: Ich muss eine komplexe Zahl der Form z = (a1+ jb1)/(a2+jb2) nicht erweitern um auf z = Real + j Imaginär zu kommen. Deniz Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:46:16    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . @Deniz Zitat: Das Erweitern habe ich mir jetzt erspart. nebenbei: im konkreten Beispiel wirst du halt dann am Schluss erweitern, wenn - wie üblich - der Bruch mit rationalem Nenner daherkommen will . Ich weiß nicht... reden wir einander vorbei? ^^ Wenn es nur um den Betrag geht, dann muss ich nicht erweitern. Das spart mich doch einige Rechenschritte. Ganz simples Beispiel: z = (1+ j) / (2+ 3j) Variante mit Erweitern: z = (1+j) (2-3j) / [(2+3j)(2-3j)] = (2 -3j+2j -3*j^2) / (4 +9) = (5-j) / 13 = 5/13 - j* 1/13 |z| = sqrt( (5/13)^2 + (1/13)^2 ) = sqrt ( 26/ 13^2) = sqrt(26) / 13 Ohne Erweitern: |z| = sqrt(1^2 + 1^2) / sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt( 2/ 13) = sqrt(26) / 13 Und das ist eindeutig schneller. Edit? Warum? (a+jb) / (c+jd) = ( ac+bd)/(c^2+d^2) + j (bc-ad) / (c^2+d^2) Das habe ich mit z = real + j*imaginär gemeint.^^ Das habe ich damit gemeint.^^ Ich glaube, wir verstehen uns gerade nicht.^^ Zuletzt bearbeitet von Deniz am 08 Okt 2009 - 23:50:01, insgesamt 2-mal bearbeitet Jizzer Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2009 Beiträge: 590 Verfasst am: 08 Okt 2009 - 23:47:47    Titel: Zeefix und Sackzement mathefan Senior Member Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8716 Verfasst am: 09 Okt 2009 - 00:02:24    Titel: . @Deniz Zitat: Ganz simples Beispiel: z = (1+ j) / (2+ 3j) = (5-j) / 13 .. (Kopfrechnung ) |z| = sqrt(26) /13 das ist eindeutig schneller. na ja .. aber Spass beiseite : darum gings doch gar nicht .. oder? und inzwischen versenkt uns einer, der etwas Französich parliert, mit einem Zitat: Sackzement Deniz Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2237 Verfasst am: 09 Okt 2009 - 06:43:25    Titel: mathefan hat folgendes geschrieben: . @Deniz Zitat: Ganz simples Beispiel: z = (1+ j) / (2+ 3j) = (5-j) / 13 .. (Kopfrechnung ) |z| = sqrt(26) /13 das ist eindeutig schneller. na ja .. aber Spass beiseite : darum gings doch gar nicht .. oder? und inzwischen versenkt uns einer, der etwas Französich parliert, mit einem Zitat: Sackzement Klär mich auf. Ich versteh´s nicht.^^ lol, Sackzement. 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