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brittachen
Junior Member
Anmeldungsdatum: 01.05.2009
Beiträge: 28
Wohnort: Raum Wuppertal
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 Verfasst am: 09 Okt 2009 - 16:50:34 Titel: Grenzwert von gebrorat. Funktion & Asymptote = wo Unters |
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Hallo,
wer kann mir bitte bei folgender Frage helfen?
Ich erarbeite mir gerade Grenzwerte. Angenommen ich möchte den Grenzwert zu der folgenden Funktion bestimmen:
Dann bekomme ich raus, dass die Funktion keinen Grenzwert hat, wenn ich x^3 ausklammere.
Die Funktion läuft also nur gegen unendlich, hat aber keinen Grenzwert.
--> Bitte korrigiert mich ausführlich, falls ich falsch liege
Was hat das nun aber damit zu tun, wenn ich hier mit Polynomdivision die Asymptote (rot) bestimme?
Irgendwie ist mir der Sinn noch nicht richtig klar. Im Grunde ist die Asymptote hier doch der Grenzwert der Funktion. Aber auch laut meines Mathebuches kommt hier als Grenzwert nur "undendlich" raus, was ich auch durch ausklammern von x^3 so berechnet habe.
Wer kann mir das bitte ausführlich verbal und vielleicht auch rechnerisch erläutern, so das ich es besser verstehe?
Gruß
Britta |
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pfeffer2004
Junior Member
Anmeldungsdatum: 17.10.2007
Beiträge: 12
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 17:14:40 Titel: |
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Deine Funktion läuft für x-> unendlich ins Unendliche. Das selbe gilt auch für x-> minus unendlich.
Durch die Polynomdivision bekommst du die Asymptote der Funktion heraus. In diesem Fall ist das eine Gerade.
Die Geradengleichung erhälts du wenn du die Polynomdivision durchführst |
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Deniz
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2237
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 17:16:04 Titel: |
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Polynomdivision - warum?
Ich zeigs Dir.
Bezogen auf Dein Beispiel:
(x^3-16) x^2-x) = x +1 + (x-16)/(x^2-x)
-(x^3-x^2)
-------------
x^2 +0x
-(x^2-x)
-------------
x-16
So, ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet.
Auf jeden Fall ist der ganzrationale Teil für hohe x Deine Asymptote.
Warum?
Der Rest (x-16)/(x^2-x) geht für hohe x gegen Null.
Somit gilt für Deine Funktion für hohe x
f(x) ~ x+1 |
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brittachen
Junior Member
Anmeldungsdatum: 01.05.2009
Beiträge: 28
Wohnort: Raum Wuppertal
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 18:04:18 Titel: |
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Hallo,
danke für Eure Antworten. Toll, dass ich hier HIlfe bekomme 
Das mit der Asymptote verstehe ich. Ich frage mich nur, wieso man nicht einfach sagt, der Grenzwert ist für x->unendlich ist einfach x-1 , weil ja die funktion gegen x-1 strebt?
Ich versuch Euch mal zu erläutern, wieso ich so denke:
Angenommen f(x) sein:
Hier die Zeichnung:
Dort ist der Grenzwert genau 2 , die Asymptote ist aber auch 2!! Somit ist Grenzwert und Asymtote identisch.
Wieso ist dann bei der ersten Aufgaben die Asymptote auch nicht der Grenzwert selbst?
Das ist der Teil, den ich einfach nicht begreife!
Gruß+Danke für Hilfe
Britta |
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Jonsy
Senior Member
Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3099
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 18:09:58 Titel: |
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Wenn heute x=y=2 ist, muss morgen und in alle Zeit immer x=y sein?
Die Asymptote ist halt nicht das gleiche wie der Grenzwert - ist halt so. Nach dem Grund zu fragen, warum das nicht das gleiche ist ist in etwa so sinnvoll wie die Frage, warum ein Stuhl nicht das gleiche wie ein Tisch ist.
Jonsy
_________________
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http://bildungs-foren.de/ |
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Deniz
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2237
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 18:12:01 Titel: |
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Guck mal:
f(x) = 6x/(3x-1)
lim f(x) = lim 6 / (3-1/x) = 2 (mit 1/x erweitert)
x->oo
Hier lässt sich der Grenzwert einfach bestimmen.
Bei Deinem Beispiel vorhin, kannst Du nur die Tendenz bestimmen.
Nämlich +oo.
Denn dieser Grenzwert konvergiert nämlich nicht. Er existiert also nicht.
Mit Hilfe der PolyDivi kannst Du die Asymptote bestimmen um genau zu sagen, wie der Verlauf für hohe x sein wird.
| Jonsy hat folgendes geschrieben: |
[...]
Die Asymptote ist halt nicht das gleiche wie der Grenzwert - ist halt so. Nach dem Grund zu fragen, warum das nicht das gleiche ist ist in etwa so sinnvoll wie die Frage, warum ein Stuhl nicht das gleiche wie ein Tisch ist.
Jonsy |
Nein. Das sehe ich anders. Siehe oben.
Der Grund liegt an der Divergenz des Grenzwertes. |
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brittachen
Junior Member
Anmeldungsdatum: 01.05.2009
Beiträge: 28
Wohnort: Raum Wuppertal
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 18:32:07 Titel: |
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@Deniz:
Hallo,
d.h. nochmal zusammengefasst für dummis wie ich eine bin:
1.) Ist die Asymtote gleich dem Grenzwert, so ist der Grenzwert konvertent. Es gibt diesen Grenzwert also. Zudem sagt mir dieser Grenzwert, wie sich die Funktion im unendlichen verhalten wird.
2.) Ist die Asymptote ungleich dem Grenzwert, so ist der Grenzwert ein anderer Wert als die Asymptote und darauf folgt, dass der Grenzwert divergent ist. Das heißt dann, dass es keinen Grenzwert gibt und die Asymptote in diesem Falle nur das Verhalten im Unendlichen angibt - jedoch NICHT den Grenzwert.
Also müsste ich korrekterweise bei einer solchen Aufgaben auch schreiben, dass es keinen Grenzwert gibt, ich aber aus freundlichkeit das Verhalten im unendlichen angebe, d.h. ob die Funktion nach - oder + unendlich läuft. Ich gebe hier also nicht das Ergebnis einer Polynomdivision an, weil die hier nichts zu suchen hat! Daher steht bei solchen Aufgaben der Wert auch immer in Anführungszeichen (so ist es in diesen Fällen in meinem Mathebuch, wenn kein richtiger Grenzwert besteht).
Bitte um Verbesserung meiner Ausführung
danke |
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Deniz
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2237
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 18:49:25 Titel: |
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| brittachen hat folgendes geschrieben: | @Deniz:
Hallo,
d.h. nochmal zusammengefasst für dummis wie ich eine bin:
1.) Ist die Asymtote gleich dem Grenzwert, so ist der Grenzwert konvertent. Es gibt diesen Grenzwert also. Zudem sagt mir dieser Grenzwert, wie sich die Funktion im unendlichen verhalten wird.
2.) Ist die Asymptote ungleich dem Grenzwert, so ist der Grenzwert ein anderer Wert als die Asymptote und darauf folgt, dass der Grenzwert divergent ist. Das heißt dann, dass es keinen Grenzwert gibt und die Asymptote in diesem Falle nur das Verhalten im Unendlichen angibt - jedoch NICHT den Grenzwert.
Also müsste ich korrekterweise bei einer solchen Aufgaben auch schreiben, dass es keinen Grenzwert gibt, ich aber aus freundlichkeit das Verhalten im unendlichen angebe, d.h. ob die Funktion nach - oder + unendlich läuft. Ich gebe hier also nicht das Ergebnis einer Polynomdivision an, weil die hier nichts zu suchen hat! Daher steht bei solchen Aufgaben der Wert auch immer in Anführungszeichen (so ist es in diesen Fällen in meinem Mathebuch, wenn kein richtiger Grenzwert besteht).
Bitte um Verbesserung meiner Ausführung
danke |
Zu 1)
Ich würde eher so sagen.
Existiert der Grenzwert (Konvergenz), so ist der Grenzwert horizontale Asymptote.
Zu 2) Der Satz
| Zitat: | | 2.) Ist die Asymptote ungleich dem Grenzwert, so ist der Grenzwert ein anderer Wert als die Asymptote und darauf folgt, dass der Grenzwert divergent ist. Das heißt dann, dass es keinen Grenzwert gibt und die Asymptote in diesem Falle nur das Verhalten im Unendlichen angibt - jedoch NICHT den Grenzwert. |
gefällt mir so nicht.
Ist der Grenzwert divergent, dann gibt es KEINEN Grenzwert.
Der andere Satz passt aber wieder.
Ich weiß, was Du erklären willst und es passt eigentlich so.^^
Schönes Wochenende. |
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brittachen
Junior Member
Anmeldungsdatum: 01.05.2009
Beiträge: 28
Wohnort: Raum Wuppertal
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 18:53:28 Titel: |
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Hallo,
ja, auch nochmals danke für die Antwort und die Verbesserung meiner Formulierung. Nun verstehe ich auch besser, was ich da eingentlich mache!
Also, schönes Wochenende
Britta |
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