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arthurspooner
Full Member
Anmeldungsdatum: 15.04.2007
Beiträge: 231
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 Verfasst am: 15 Okt 2009 - 19:38:30 Titel: Alle Lösungen für Gleichung (x,y) |
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Vielleicht kann mir mal eben jemad auf die Sprünge helfen, Tips sollten genügen 
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie alle lösungen (x,y) element aus NxN der folgenden Gleichung: x^3 - y^3 = x * y + 509
x^3 - y^3 lässt sich zerlegen in (x-y) * (x^2 +xy + y^2)
Weiter komm ich leider gerade nicht. Jmd einen Tip? Danke! |
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edgar01
Junior Member
Anmeldungsdatum: 26.04.2009
Beiträge: 64
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 22:15:04 Titel: |
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Hallo,
dein Problem sieht auf den ersten Blick einfach aus. Es ist aber in Wirklichkeit ziemlich schwierig, Paare von natürlichen Zahlen (x,y) zu finden, die der Gleichung
x^3 - y^3 = x * y + 509
genügen.
Schon deshalb, weil es keine lineare Gleichung ist.
Ich hab' mit einem kleinen, selbstgeschriebenen Programm herausgefunden, dass es im Intervall von 0 bis 100000 keine Lösung für die Gleichung gibt. Die Zahlen müssten schon recht groß sein. Es ist ja auch die Frage, ob überhaupt irgendeine Lösung für das Problem existiert. Andererseits, wenn du die Aufgabe so gestellt bekommen hast, dann wird's schon natürliche Zahlen (x,y) geben, für die die Gleichung gilt.
Mit Umformen kommt man, glaub ich, auch nicht weiter.
Hoffentlich meldet sich noch jemand, der sich mit Algebra gut auskennt, denn mich würde die Lösung auch interessieren.
Viele Grüße,
Edgar |
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cyrix42
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 22669
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 22:15:24 Titel: |
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Hallo!
Setze mal x=y+n und vereinfache den Spaß. Am Ende bleibt eine (kleine) Anzahl von Fällen übrig, die du durchdiskutieren musst...
Cyrix
_________________
Die Wurzel
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Hausmann
Senior Member
Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2706
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 22:30:38 Titel: |
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| edgar01 hat folgendes geschrieben: |
| Es ist ja auch die Frage, ob überhaupt irgendeine Lösung für das Problem existiert. |
Ich erinnere an HILBERT 10.
_________________
TEX: https://addons.mozilla.org/en-US/firefox/addon/748 |
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cyrix42
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 22669
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 22:32:38 Titel: |
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Ja, aber die Gleichung hier ist nur eine quadratische. Insofern lösbar. Und sogar völlig ohne jede Theorie.
Cyrix
_________________
Die Wurzel
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Hausmann
Senior Member
Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2706
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arthurspooner
Full Member
Anmeldungsdatum: 15.04.2007
Beiträge: 231
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 22:47:38 Titel: |
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| Hmm hab das mit dem x=y+n mal probiert und die übrigen Fälle durchgegangen. Ist es wahr dass er für diese Gleichung keine Lösung gibt? |
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cyrix42
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 22669
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 22:48:49 Titel: |
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Habs nicht nachgerechnet, kann aber gut sein.
Cyrix
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Die Wurzel
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edgar01
Junior Member
Anmeldungsdatum: 26.04.2009
Beiträge: 64
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 23:13:37 Titel: |
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Ich hab das auch mit dem Tipp von cyrix (x=y+n) gemacht - leider erfolglos.
Ich hab das Programm erweitert und es sieht so aus, dass es jenseits von 100000 auch keine Lösung(en) gibt. Ich kann das natürlich nicht bis zu ein paar Millionen ausprobieren, weil das ziemlich rechenintensiv ist und das zu lange dauern würde.
Eine Sache würde ich aber gerne noch wissen von arthurspooner:
Sag mal, ist das die Original-Aufgabenstellung, die du im ersten Beitrag geschrieben hast? |
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Calculus
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 23:15:49 Titel: |
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Wie kommt man dann zu dieser Lösung? Mich interessiert diese Aufgabe und ich hänge jetzt an dieser diophantischen Gleichung:
y² * (3n - 1) + y * n * (3n - 1) + n³ - 509 = 0
Weder über die Diskriminante noch über Kongruenzrechnung komme ich zu einem Ergebnis :s |
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cyrix42
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 22669
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| Verfasst am: 15 Okt 2009 - 23:16:06 Titel: |
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| Hausmann hat folgendes geschrieben: |
| Daran hatte ich mich heute schon versucht und erwarte das Ergebnis. |
Einsetzen von x=y+n (mit x und y ist auch n eine ganze Zahl; wegen x^3-y^3=xy+509>0 ist x>y und damit n>0) liefert:
3n^2y+3ny^2+n^3=y^2+ny+509
<==>
(3n-1)y^2 + (3n^2-n) y = 509-n^3
<==>
(3n-1)*y*(y + n) = 509 - n^3.
Wegen n>0 ist die linke Seite positiv, also insbesondere n^3< 509, d.h. es gibt nur endlich viele Fälle für n zu untersuchen. Und für jeden ergibt es eine quadr. Gleichung in y, was man ausrechnen kann.
Wahrscheinlich kann man sich die Arbeit noch etwas weiter vereinfachen, aber über mehr hab ich mir keine Gedanken gemacht... 
Cyrix
_________________
Die Wurzel
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Hausmann
Senior Member
Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2706
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