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ganzr. Funktionsscharen
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Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 11:57:34    Titel: ganzr. Funktionsscharen

Gegeben ist die FUnktion fk fk(x)= x³-6x²+9x+k

Welche Bedingung muss k erfuellen damit die Funktion fk genau eine,zwei,drei Nullstellen besitzt?
Ist der Fall möglich, dass fk keine Nullstellen besitzt?
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 09:04:46    Titel:

Hallo Flo0o,

die Funktion geht von lim(x->-oo) = -oo nach lim(x->oo) = oo . Damit hat sie mindestens 1 Nullstelle.

Um zu entscheiden wann sie mehr als eine Nullstelle untersuchte ich die Extremwerte.

f'k(x) = 3x² -12x+9 = 0
x² -4x+3 = 0

x1,2 = 2 +- Wurzel(4-3) => x1 = 1 und x2 = 3

Die Extremwerte liegen bei x1 = 1 (Maximum) und x2 = 3 (Minimum)

Jetzt die Funktionswerte berechnen.
fk(1) =1-6+9+k = 4+k
fk(3) = 27-54+27 + k = k

Zwischen P1(1,4+k) und P2(3,k) hat die Funktion 3 Nullstellen wenn die x-achse zwischen 4+k und k liegt.
2 Nullstelle hat sie wenn der y-Wert von P1 = 0 oder der y-Wert von P2 = 0
4+k = 0 => k = -4
k = 0 => k=0

Zusammenfassung

1 Nullstellen für k <-4 und k > 0
2 Nullstellen für k= 0 und k = -4
3 Nullstellen -4 < k < 0

Gruß
Dirk
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 11:44:00    Titel:

Hallo DMoshage,

Wie kommst du zu dieser Schlussfolgerung:


Zitat:
Zwischen P1(1,4+k) und P2(3,k) hat die Funktion 3 Nullstellen wenn die x-achse zwischen 4+k und k liegt.
2 Nullstelle hat sie wenn der y-Wert von P1 = 0 oder der y-Wert von P2 = 0
4+k = 0 => k = -4
k = 0 => k=0
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 11:56:09    Titel:

Hallo Flo0o,

Wenn die x-Achse zwischen den Extremwerten durchgeht, dann hat die Funktion folgendes Verhalten:

x < 1 Funktion ist monoton steigend lim x->-oo = -oo und f(1) > 0 somit schneidet die Funktion die x-Achse.

1 < x < 3 Funktion ist monoton fallend. f(1) > 0 und f(3) < 0 somit schneidet die Funktion die x-Achse.

x > 3 Funktion ist monoton steigend f(3) < 0 und lim x->oo = oo somit schneidet die Funktion die x-Achse.

Folgendes Bild für k=2



Gruß
Dirk
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 12:39:22    Titel:

Zitat:
Folgendes Bild für k=2


meinst du k=-2 ?


kann man das nicht ausrechnenn, oder sit das nur so eine überlegung im kopf ?[/quote]
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 13:36:34    Titel:

Stimmt k=-2.

Zitat:
kann man das nicht ausrechnenn, oder sit das nur so eine überlegung im kopf ?


Na ja Ausrechnen schon, da man die Extremwerte berechnet und damit die Grenzen festlegt. Das "Überlegen im Kopf" sind die Fallunterscheidungen bzw. die Schlußfolgerungen die sich aus den Zahlen ergeben.

Gruß
Dirk
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 13:37:13    Titel:

hehe k thx Wink
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 15:47:35    Titel:

Flo0o hat folgendes geschrieben:
kann man das nicht ausrechnenn,


Man kann das schon auch ausrechnen. Über die Lösung der kubischen Gleichug und Untersuchung der Diskriminanten.



Gruß
Andromeda
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 17 Mai 2005 - 18:11:45    Titel:

oehm ja Andromeda alles schön und gut nur

D= q²+p³ -> hae woher das ?

q=1/2(2b³/27a³-bc/3a²+d/a) was ist das ??

galub ist ein bissel hoch für 11. Stufe ^^

Achso mir ist aufgefallen, dass du DMos alles von x abhängig machst...

Zitat:
x < 1 Funktion ist monoton steigend lim x->-oo = -oo und f(1) > 0 somit schneidet die Funktion die x-Achse.

1 < x < 3 Funktion ist monoton fallend. f(1) > 0 und f(3) < 0 somit schneidet die Funktion die x-Achse.

x > 3 Funktion ist monoton steigend f(3) < 0 und lim x->oo = oo somit schneidet die Funktion die x-Achse.


hängt es nicht von k ab ? Ist mir doch noch irgendwie ein bisschen unschlüssig, da zwischen x=1 und x=3 nicht immer eine Nullstelle ist.
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