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Lagrange Funktion
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Glanzkind
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Anmeldungsdatum: 15.04.2009
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2009 - 17:48:26    Titel: Lagrange Funktion

Hallo Leute,
ich muss euch wieder einmal belästigen. Habe wieder Probleme mit einem VWL Einstiegsthema: Lagrange Funktion

Folgende Aufgabenstellung:
Ein Kosument mit der Nutzenfunktion: U= x1 0,5 x2 = 0,5 hat eine Kosumsumme von 300 EuR. Die Preise der beiden Güter betragen p1= 10 und p2= 15 EUR. Bestimmen sie den optimalen Verbrauchsplan des Konsumenten:

Mein Lösungsansatz:
1. Schritt Budgetgerade (Nebenbedingun gleich 0 setzen)
300-10-15

2. Schritt Lagrange Funktion bilden
L= x1 0,5 x x2 0,5 + lambda(300-10p1-15p2)

3. Schritt Bedingungen erster Ordnung herleiten
dL/dx1 = 0,5x1 -0,5 x2 0,5 -10lambda = 0
dL/dx2 = 0,5x2 x2-0,5 -15lambda = 0
dL/dlambda = 300- p1 10 - p2 15= 0

So hier hört es bei mir auf, wie verfahre ich weiter? Ich hatte Jahrelang keine Differentailrechnung mehr, also könnten die Ableitungen auch falsch sein, es wäre super, wenn es mir jemand anhand eines Zahlenbeispiels erklärem könnte.
eco510
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Anmeldungsdatum: 27.07.2009
Beiträge: 109

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2009 - 21:43:14    Titel:

Ist U(x,y) = 0,5x*0,5y ? Sorry aber bei der Schreibweise da check ich garnix. (jetzt mal statt x1, x2)

Oder wofür stehen die Leerzeichen und die Gleichheitszeichen und so?

Generell musst du jetzt einfach z.B die erste nach Lamda auflösen, in die zweite einsetzen und für x oder so auflösen und dann in die dritte einsetzen.
Glanzkind
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Anmeldungsdatum: 15.04.2009
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2009 - 00:05:28    Titel:

Genau U=x=0,5 y=0,5 (bei mir halt gut1/gut2)

Wie löse ich die denn genau auf? hab irgendwie ein verständnis problem...
eco510
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Anmeldungsdatum: 27.07.2009
Beiträge: 109

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2009 - 11:10:46    Titel:

Wie ist denn die Aufgabe formuliert? Wenn Gut 1 = 0,5, Gut 2= 0,5 ist, hört sich das für mich nach Anteilen an. Dann Würde ne Cobb Douglas mit x^0,5*y^0,5 vieleicht sinnvoller sein. Oder hast du U= 0,5x1 + 0,5x2, wie gesagt ich kann die Ableitungen nicht nachvollziehen.

Der Budget Contraint muss übrigends 10x1 + 15x2 = 300 heißen. (du hast da die x vergessen)

Also ich spiel das mal für ne hypothetische Cobb Douglas mit a=1-a= 0,5 durch:

Lagrange Funktion: 0,5lnx1 + 0,5lnx2 + l(10x1+15x2-300)

l= lambda (ich habe jetzt die Nutzenfunktion einfach um ln transformiert um mir die Ableitungen zu erleichtern)

dL/dx1 = 0,5/x1 + 10l
dL/dx2 = 0,5/x2 + 15l
dL/dl = 10x1 +15x2 -300

0,5/x1 +10l = 0
0,5/x1 = -10l
0,5/(-10x1) = l

genauso könnte man die zweite Funktion nach l umstellen

da hätten wir dann:

l= -0,5/(15x2)

so jetzt kann man eine von beiden für l in die andere einsetzen. Bzw da ich jetzt schon beide für l aufgelöst hab, kann man sie auch direkt gleichsetzen:

-0,5/(15x2) = -0,5/(10x1)
10x1*0,5 = 15x2*0,5
x1 = (15/10)x2

Dies kann man nun in die Dritte einsetzen:

10*(15/10)x2 + 15x2 =300
30x2 = 300
x2 = 10

Jetzt kannst du x2 wieder in die dritte einsetzen:

10x1 +15*10 =300
x1 = 15

dh: 15x1, 10x2 ist der optimale Verbrauch.
Glanzkind
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Anmeldungsdatum: 15.04.2009
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2009 - 11:30:55    Titel:

Vielen Dank eco!
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