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Q(Wurzel(5))
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Q(Wurzel(5))
 
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Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 17:47:34    Titel: Q(Wurzel(5))

Guten Abend, diesmal nur eine "kurze" Frage:

K ist eine Teilmenge von IR, definiert durch K={a + b*wurzel(5) | a,b € Q}
(Dabei sind Q die rationalen Zahlen)

Ich habe gezeigt, dass K ein Körper ist, nun soll man sagen, ob man K anordnen kann, (eine zweistellige Relation auf K so definieren kann, dass K ein angeordneter Körper ist).

Ich habe mich nach den Axiomen für einen angeordneten Ring gerichtet, weiß aber nicht, ob das dann auch direkt für Körper gilt. Beim ersten Axiom gibt es aber schon Probleme:

(OR1) Ist x < y, so gilt auch x + z < y + z.

Wenn ich nun für x, y und z Elemente aus K nehme, erhalte ich die Ungleichung:

a + e + (b + f) * wurz(5) < c + e + (d + f) * wurz(5)

Aber daran kann ich nicht viel ablesen. Ich freu mich über Antworten, oder Hilfestellungen. Schönen Abend noch,
Archivarius
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 18:17:56    Titel:

Die Anordnungsaxiome gelten dann auch für einen angeordneten Körper.

Welche Ordnung willst du denn verwenden?


Cyrix
Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 18:27:16    Titel:

Hmm, was meinst du mit "welche Ordnung willst du verwenden"?

Reicht es vielleicht zu sagen:
Auf IR gibt es die zweistellige Relation "<", IR ist also angeordnet. Da K eine Teilmenge von IR ist, wird diese Relation auf K übertragen und gilt somit auch für alle Elemente von K. K ist damit auch angeordnet, denn es gilt:

x, y , z € K

x < y <=> x + z < y + z

usw.

?

Grüße
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8297
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 18:43:15    Titel:

Du mußt erstmal eine Anordnungsrelation definieren.
Unter welchen Bedingungen soll den a+b*wurzel(5) < c+d*wurzel(5) sein und wann nicht?
Erst wenn Du eine hast, kannst du doch zeigen, daß sie gilt.
Und dazu brauchst Du dann die Anordnungsaxiome.

Gruß, mike
Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 18:54:42    Titel:

a+b*wurzel(5) < c+d*wurzel(5) soll wahr sein, wenn der linke Ausdruck kleiner ist, als der rechte, und falsch, wenn der rechte kleiner ist als der linke, oder wie meinst du das mit definieren?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8297
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 19:28:26    Titel:

Ja, das meine ich.
Aber: Wann ist er kleiner?

Du kennst bisher nur eine Anordnungsrelation im zugrundeliegenden Körper Q. Und die kannst Du nicht verwenden, um a+b*wurzel(5) und c+d*wurzel(5) zu vergleichen. Denn diese Zahlen gehören gar nicht zu Q.

Die Relation in Q ist wahrscheinlich definiert durch so etwas wie
"a/b < c/d gilt genau in folgenden Fällen:
Falls b<0 und d<0: dann wenn ad < bc
Falls b<0 und d>0: dann wenn ad > bc
Falls b>0 und d<0: dann wenn ad > bc
Falls b>0 und d>0: dann wenn ad < bc."
Und weil ad und bc gaze Zahlen sind, ist damit die Anordnungsrelation in Q auf die in Z zurückgeführt.

Nun mußt Du die Relation im Erweiterungskörper auf die in Q stützen.

Gruß, mike
Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 19:58:23    Titel:

Geht es in die richtige Richtung, wenn ich folgendes tue?:

a + b * wz(5) < c + d * wz(5)

umgeformt zu (a - c) / (d - b) < wz(5)

Dann setze ich a - c = p und d - b = q

also p / q < wz(5)

Irgendwie kommt mir das alles komisch vor, damit kann ich das doch nicht lösen??
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8297
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BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 20:11:58    Titel:

Ne, das kannst Du nicht.

Denn p/q<wz(5) kannst Du ja auch nicht in Q verwenden, weil es wz(5) da nicht gibt.

Aber es geht in die richtige Richtung. Wenn Du jene Bedingung quadrierst, dann liegt alles, was da vorkommt in Q.

Allerdings mußt Du dann noch ein wenig Fallunterscheidung machen, weil das Quadrieren die Richtung der Ungleichung ändern kann.

Gruß, mike
Archivarius
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 20:37:39    Titel:

Ich kriegs einfach nicht hin, ich hab heute zu viel Mathe gemacht. Seit acht Uhr ohne Pause, bis jetzt, ich hab Kopfschmerzen und will schlafen...ich bin zwar ehrgeizig, aber nicht unendlich belastbar. Ich wäre dir unendlich dankbar, wenn du mir die Definition der Relation einfach sagen würdest, im Augenblick stecke ich hier und weiß nicht weiter:

p / q < wz(5)

=> p² / q² < 5

Ich weiß jetzt nicht, wie die Fallunterscheidung genau von Statten geht. Wenn der Betrag von p/q < 5, dann ist p² / q² < 5 und wenn der Betrag von
p/q > 5, dann ist p² / q² > 5. Wie komme ich denn weiter?!!

Danke für deine Antworten bis jetzt, war wirklich hilfreich!

Grüße
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8297
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BeitragVerfasst am: 29 Okt 2009 - 20:51:34    Titel:

p/q kann < wz(5) sein, und trotzdem wird p²/q² > 5. Nämlich dann, wenn p/q nicht nur < wz(5) ist, sondern sogar < -wz(5).

Daher genügt es nicht, zu betrachten, ob p²/q² kleiner oder größer als 5 ist. Du mußt dabei noch unterscheiden, ob p/q positiv oder negativ ist.

Aber das ist noch nicht alles. Den Du hast p und q als Abkürzung für a-c und d-b eingeführt. Und Du hast durch q=d-b dividiert. Wenn q negativ ist, dann hat das das Ungleichheitszeichen umgedreht ...

Wenn Du beides zusammennimmst, dann hast Du letztlich vier Fälle zu unterscheiden:
a>c und d>b (d. h.: p/q positiv und d-b positiv)
a<c und d>b (d. h.: p/q negativ und d-b positiv)
a>c und d<b (d. h.: ... )
a<c und d<b ( ... )

Für jeden dieser vier Fälle mußt Du festlegen, ob p²/q² < oder > 5 sein soll, damit die Relation a+b*wz(5) < c+d*wz(5) gilt.

Gruß, mike
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