Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

sup(A*B)=supA*supB
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> sup(A*B)=supA*supB
 
Autor Nachricht
milka-schnute
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.10.2009
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2009 - 00:43:42    Titel: sup(A*B)=supA*supB

Hallo!
Wir sitzen schon seit einiger Zeit an einer Aufgabe, bei der wir einfach nicht weiter kommen... Und zwar folgende:
Es seien A,B c IR nichtleere, nach oben beschränkte Mengen. Wir definieren
A*B := {a*b: a€A, b€B}

Zeigen Sie: Falls AuBc[0, unendl.[ gilt, sup(A*B) = supA*supB.
Zurvor haben wir bewiesen, dass sup(A+B)=supa+supB.
Leider klappt dieser Beweis nicht analog dazu. Wir sind also noch nicht wirklich weiter gekommen als diverse Variablen zu bestimmen (â:=supA, ^b:=supB, ^m:=â*^b, also obere Schranke von A*B)
Jemand einen kleinen Tipp, wie wir weiter vorgehen können?
BarneyG.
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2009 - 08:28:36    Titel:

Hallo,

Zitat:
Zurvor haben wir bewiesen, dass sup(A+B)=supa+supB.
Leider klappt dieser Beweis nicht analog dazu.


Na, warum funktioniert das denn eurer Meinung nach nicht? Im Wesentlichen muss man doch nur aufpassen, dass man nicht mit negativen Vorzeichen "kollidiert". Und das ist ausgeschlossen, weil aus der Voraussetzung

AuBc[0, unendl.[

folgt, dass alle Elemente nicht-negativ sind. Da muss man sich doch nur mit der Epsilontik richtig bewegen, weil jetzt statt "+" ein "*" steht ...

Grüße
milka-schnute
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.10.2009
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2009 - 18:42:22    Titel:

also, wir haben
m=a*b mit a€A und b€B und das ist </= supA*supB=^m
(gehört zu behauptung 1)
2.:
^m ist kleinste obere Schranke von A*B.
angenommen, es existiert ein n€IR, sodass n eine obere Schranke von A*B ist und n+3(epsilon)=^m für ein 3>0
dh man wähle á€A und ´b€B so, dass
á>â-3/2€A , ´b>^b-3/2€B
=> á*´b>(â-3/2)*(^b-3/2) = â*^b - â*3/2 - ^b*3/2 + 3²/4

stimmt das soweit oder isn Denkfehler drin? Wenn das so richtig sein sollte, weiß ich jetzt allerdings nicht, wie ich weiter kommen soll...
WiMa90
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 01.11.2009
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 15:45:17    Titel: das gleiche problem

ich habe GENAU das gleiche problem. es ist die gleiche stelle an der ich nicht weiterkommen. also falls du eine lösung gefunden hast oder irgendwer anders, lasst es mich erfahren. währ super. ich verzweifel nämlich.

lg
BarneyG.
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2009 - 08:43:08    Titel:

Na, da scheint es sich ja um ein weit verbreitetes Problem zu handeln ... Very Happy

Dabei ist doch der Beweis schon fast geführt, wenn mal von der etwas gewöhnungsbedürftigen Notation ^m absieht.

So könnte man den Beweis etwas sauberer aufschreiben:

Beh.: Wenn ... dann ist sup(a*b) = sup(a) * sup(b)

Bew.:

Du hast ja schon nachgewiesen, dass für a >= 0 und b >= 0 gilt:

(1) sup(a*b) <= sup(a) * sup(b)

Ann.: sup(a*b) < sup(a) * sup(b)

Dann existiert ein e > 0 mit der Eigenschaft

(2) sup(a*b) < e + sup(a) * sup(b)

Wir setzen nun

(3) e' = +Wurzel(e) > 0

Nach Definition des Supremums gibt es zu diesem e' Zahlen a' und b' mit der Eigenschaft:

a' > sup(a) - e'
b' > sup(b) - e'

Und damit hat man

sup(a*b) >= a' * b' > (sup(a) - e') * (sup(b) - e') >=

>= sup(a) * sup(b) + (e')² (man beachte sup(a), sup(b) und e' >= 0)

= sup(a) * sup(b) + e (nach (3))

Und das ist ein Widerspruch zu (2).

Zusammen mit (1) ist damit alles bewiesen.

Oder etwa nicht?

Nein, tatsächlich fehlt an diesem Beweis noch eine Kleinigkeit! Wer sagt denn, dass

sup(a) - e' bzw. sup(b) - e' nicht auch NEGATIV werden können. Das muss man noch ausschließen, weil sonst der Schluss

a' * b' > (sup(a) - e') * (sup(b) - e')

scheitern kann! Man muss die Beweisidee also noch etwas erweitern. Aber dieses Schmankerl will ich jetzt euch überlassen ... Very Happy

Grüße
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> sup(A*B)=supA*supB
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum