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Wurzel aus komplexen Zahlen
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bwigosch
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Anmeldungsdatum: 10.10.2009
Beiträge: 84

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2009 - 21:03:20    Titel: Wurzel aus komplexen Zahlen

Hallo!

Brauche wieder Hilfe bei folgenden Aufgaben:

1.) Schreibe die i-te Wurzel aus i als komplexe Zahl der Form a + ib!

Die i-te Wurzel aus i ist ja praktisch i^(1/i) = i^(-i). Und jetzt steh ich an, Wie komm ich nun auf die Form a + ib?

2.) Stellen Sie die Zahl ln(-(e^2)) als komplexe Zahl der Form a + ib dar!

Ich weiß, dass die Lösung 2 + Pi*i ist, aber ich weiß nicht, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Vielleicht kann mir hier bei den beiden Aufgaben jemand weiterhelfen, das wäre sehr nett.

Vielen Dank!
bwigosch
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Anmeldungsdatum: 10.10.2009
Beiträge: 84

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 19:47:00    Titel:

Hallo!

Habe die Lösung zu i-te Wurzel aus i in einem anderen Forum gefunden.
Ich dachte es interessiert vielleicht jemanden:

i-te Wurzel aus i = r*e^(i*phi) // nun potenzieren mit i =>
i = r^i * e^(-phi) // nun r schreiben als r=e^(ln r) =>
i = (e^(ln r))^i * e^(-phi) // nun i schreiben als i=e^(i*(Pi/2)) =>
e^(i*(Pi/2)) = e^(i*(ln r)) * e^(-phi) => ln r = Pi/2 und phi=0 damit die Gleichung stimmt.
=> i = e^(i*(ln r)) => i = (e^(ln r))^i => i-te Wurzel aus i = e^(ln r) =>(weil ln r = Pi/2): i-te Wurzel aus i = e^(Pi/2). FERTIG!
Meine Frage nun: Ist dies die einzige Lösung? Normalerweise haben ja Wurzeln aus komplexen Zahlen die Angewohnheit, dass es mehrere Lösungen gibt, nämlich die Anzahl derer (n Wurzeln) entspricht der Zahl bei der Wurzel (n-te Wurzel).

Bei der Aufgabe die Zahl ln(-e^2) in die Form a + i*b zu bringen habe ich leider immer noch keine Ahnung bzw. Antwort. Vielleicht hat jemand von euch einen Tipp für mich.
Vielen Dank!
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 21:11:17    Titel:

Zitat:
Meine Frage nun: Ist dies die einzige Lösung? Normalerweise haben ja Wurzeln aus komplexen Zahlen die Angewohnheit, dass es mehrere Lösungen gibt, nämlich die Anzahl derer (n Wurzeln) entspricht der Zahl bei der Wurzel (n-te Wurzel).

Das ist ein altes Missverständnis, das vorrangig auf eine uneinheitliche Definition und Verwendung des Wurzel-Begriffs zurückzuführen ist. Eine Gleichung der Form x^n = c, für x, c € C und n € N hat stets n Lösungen (wenn man die Wertigkeiten in der Faktorisierung beachtet). Hingegen ist die Semantik des Terms x.wurzel(y) für x, y € C entweder "nicht definiert" oder eine komplexe Zahl.

i.wurzel(i) = i^(1/i) = (exp(pi/2 · i))^(1/i) = exp(pi/2)

Mehr ist das wirklich nicht.

Zu 2)
Dazu musst du lediglich wissen, wie der komplexe natürliche Logarithmus definiert ist und den Numerus in der Exponential-Form darstellen.
Jizzer
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Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 21:50:56    Titel:

und wie siehts aus bei (a + ib)^(1/i) ?

mfG
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