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Help ganzrationale Funktionen
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Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
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BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 20:20:18    Titel: Help ganzrationale Funktionen

Gegeben ist die FUnktion fk fk(x)= x³-6x²+9x+k

a) Welche Bedingung muss k erfuellen, damit die Funktion fk genau eine,zwei,drei Nullstellen besitzt?
b) Ist der Fall möglich, dass fk keine Nullstellen besitzt?
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 21:34:54    Titel:

f(x) = x³ - 6x² + 9x + k

1. genau zwei Nullstellen
f(x) = (x-p)(x-q)² = (x-p)(x²-2qx+q²) = x³-2qx²+q²x-px²+2pqx-pq²
f(x) = x³ - (2q+p)x² + (2pq+q²)x - pq²

2q+p = 6
2pq+q² = 9

p = 6-2q
2(6-2q)q+q² = 9

p = 6-2q
12q-3q² = 9

p = 6-2q
4q-q² = 3

p = 6-2q
q²-4q+3 = 0

q1=1 -> p1=4
q2=3 -> p2=0

k= -pq²
k1=-4
k2=0

2.
Wenn k zwischen -4 und 0 liegt, schneidet der Graph dreimal die X-Achse, also 3 Nullstellen.
Wenn k<-4 oder k>0, schneidet der Graph nur einmal die X-Achse, also 1 Nullstelle.
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 21:48:01    Titel:

omg das rall ich aber nicht ;(( geht das net auch unkomplizierter wofuer das p und q

Vielleicht irgendwie mit dem newton verfahren !?!
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 22:30:23    Titel:

Wenn eine ganzrationale Funktion 3.Grades f(x) zwei Nullstellen hat ( x1, x2 und x3=x2 ),
kann man die Funktionsgleichung so umschreiben:
f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3) = a(x-x1)(x-x2)²
In deinem Fall a=1, außerdem ersetzen wir x1 durch p und x2 durch q, also
f(x) = (x-p)(x-q)²

usw.



Mit dem k verschieben wir den Graphen nach oben oder nach unten. Du kannst es mit
einem Plotter selbst probieren
x^3-6*x^2+9*x+1
x^3-6*x^2+9*x
x^3-6*x^2+9*x-1
x^3-6*x^2+9*x-2
x^3-6*x^2+9*x-3
x^3-6*x^2+9*x-4
x^3-6*x^2+9*x-5
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm

Very Happy
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
Wohnort: Willich

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 23:24:49    Titel:

Vielen dank, da bleibt eigentlich nur noch die Frage, weshalb a=1 ist ?, wahrscheinlich pack ich mir , wenn ich die antwort lese an den kopf Wink ^^

und wieso du das so

2q+p = 6
2pq+q² = 9

gleichsetzt ? 9 und 6 sind doc die faktoren von x ?? und wann hat der graph 2 Nullstellen und dann ist es möglic,d ass er keine hat? VIelen Dank
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Mai 2005 - 23:55:16    Titel:

a=1 weil vor dem x³ nichts steht, also 1.

Wenn wir die zwei Funktionsgleichungen vergleichen,

f(x) = x³ - 6x² + 9x + k

f(x) = x³ - (2q+p)x² + (2pq+q²)x - pq²

dann sehen wir, was vor dem x² steht, was vor dem x, und der Rest k=- pq²


So einfach ist es Very Happy
Flo0o
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Anmeldungsdatum: 09.04.2005
Beiträge: 406
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BeitragVerfasst am: 16 Mai 2005 - 11:38:04    Titel:

ahhh sauber ^^, wäre ich ja selber nie drauf gekommen ... bin ja erst 11. Klasse und ich dachte mir dass man das vielleicht mit dem newton Verfahren lösen kann, geht das auch oder eher nicht ? weil bei der aufgabe geht ja sonst kein Lösungsansatz Wink
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