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Extremalproblem
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Laurine
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Anmeldungsdatum: 16.09.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 22:02:18    Titel: Extremalproblem

Bitte nochmal um Hilfe!!!

Aufgabe: Aus vier 2m langen Zeltstangen soll ein Zelt mit quartratischer Grundfläche so gebaut werden, dass das Volumen möglichst groß ist. Bestimme die Abmessung des Zeltes.

HB: V= 1/3 Ag*h

NB: Ag= a^2
a^2+a^2= d^2
wurzel aus 2a^2= d
(2a^2+4)/4 + h^2 = 4
h= wurzel (2a^2/4)-4

ZF: V= 1/3a^2 * wurzel (2a^2/4) -4 -> die -4 gehört mit in die Wurzel


RECHNUNG: notwendige Bedingung f'(xe)= 0

V'(a)= 2/3a * ........ ab hier komm ich nicht weiter wäre schön wenn jemand helfen könnte Wink
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 22:10:59    Titel:

Wenn die Vier mit in die Wurzel gehört, mußt du Klammern setzen. Dafür sind die erfunden worden.

Dein Ansatz ist leider verkehrt. Du hast versucht, den Zusammenhang zwischen a und h zu errechnen, damit Du das h in der Volumenformel durch einen Ausdruck mit a ersetzen kannst. Dabei hast Du Dich aber verrechnet.

Betrachte das rechtwinklige Dreieck aus der Höhe h, der halben Grundflächendiagonale (a/2)*wurzel(2) und der Seitenlinie. Das reicht, um mit dem Pythagoras die gesuchte Beziehung zu finden.

Gruß, mike
Laurine
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Anmeldungsdatum: 16.09.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 22:28:39    Titel:

ja hast recht wäre dann (1/2 wurzel (2a^2)) ^2 + h^2 = 4
h^2= 4 -(1/2 wurzel (2a^2)^2)
h= wurzel ( 4-(1/2 wurzel (2a^2)^2)

wie kann man das vereinfachen? Confused
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2009 - 22:32:18    Titel:

.
Zitat:
HB: V= 1/3 Ag*h

NB: Ag= a^2
a^2+a^2= d^2
wurzel aus 2a^2= d

soweit ok

also d²=2a² .. oder... d= a*√(2)

aber was hast du dir denn da gedacht:
Zitat:
(2a^2+4)/4 + h^2 = 4

findest du nicht auch, es sollte wohl so heissen:

(d/2)² + h² = 4
/4 + h² = 4
also
a²/2 + h² = 4 oder a²= 8 - 2h²
so

V= (1/3)*a²*h
und jetzt würde ich an deiner Stelle erst mal mit V als Funktion von h weitermachen ..
(da vermeidest du das Problem, dass du zB Wurzelterme abzuleiten hättest)

also:
V(h) = (1/3)*( 8 - 2h² ) *h = (2/3)*( 4h - h³ )
und von dieser Funktion dritten Grades in h kannst du sicher problemlos die Ableitung notieren
und damit dann herausfinden, für welches h dein Volumen extremal wird.
(und wenn du dieses h hast, kannst du sofort auch das zugehörende a noch rechnen)

ok?
also: wie sieht dein Ergebnis dann aus: ->..?
Laurine
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Anmeldungsdatum: 16.09.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2009 - 11:47:49    Titel:

hey danke hab gar nicht gesehen das noch jemand geantwortet hat Wink

also RECHNUNG

notwendige Bedingung f'(Xe)=0

V'(h)= 2/3 (4-3h^2)

0= 8/3-2h^2 2h^2=8/3 h^2= 4/3 h= 1.15

hinreichende Bedingung f''(xe) ungleich 0 , f'(Xe)=0

V''(h)= 2/3 ( -6h)

V''(1.15)= -4.6

a= 2.39

Antwort: Bei einer Höhe von 1.15m und einer Seitenlänge a= 2.39m ist das Volumen des Zeltes maximal. Wink
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