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Algebra: Brüche umformen im Körper.
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Ph1l1p
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Anmeldungsdatum: 01.11.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2009 - 15:19:22    Titel: Algebra: Brüche umformen im Körper.

Hallöche,

ich soll bestimme, dass (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd) ist.

mein ansatz war, b und d als inverses nach oben zu schreiben und dann einfach inverse hinzuzufügen, die null sind. die rechnung ging aber nicht ganz auf.

wie bekomm ich denn b und d sowohl in den nenner als auch in den zähler?

mfg ^^
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2009 - 15:23:39    Titel:

(a : b) + (c : d)
= (1 · (a : b)) + (1 · (c : d))
= ((d : d) · (a : b)) + ((b : b) · (c : d))

Mach mal alleine weiter!


Zuletzt bearbeitet von Annihilator am 03 Nov 2009 - 15:43:02, insgesamt einmal bearbeitet
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2009 - 15:31:09    Titel:

Der Ansatz mit den Inversen ist ganz gut. Denn brauchst Du nämlich zum Erweitern. Denn Du mußt erstmal a/b zu (ad)/(bd) machen, analog für den anderen Bruch.

Schreibe erstmal a/b in ab^-1 um. Füge dann dazwischen e=dd^-1 ein. Verwende dann das Assoziativgesetz und fasse die ersten beiden und die letzten beiden Faktoren jeweils in einer Klammer zusammen. Wende
auf die letzte Klammer an, daß x^-1y^-1=(yx)^-1 ist.

Wenn Du das Ergebnis jetzt wieder als Bruch schreibst, hast Du gezeigt, daß man Brüche in jedem Körper erweitern kann. Denn du hast nur Dinge gemacht, die man in Körpern machen kann. Aber lasse es ruhig so stehen, wie es ist.

Denn wenn Du dieses Verfahren für a/b und für c/d durchführst und die Summe der entstehenden Ausdrücke hinschreibst, dann kannst du das Distributivgesetz nutzen und den zweiten Faktor beider Summanden auskalmmern, denn der ist gleich. Jetzt kanns tdu die Sache als Bruch schreiben und bist fertig.

Nun hast Du gezeigt, daß die Regel zur Addition von ungleichnamigen Brüchen (auf den Hauptnenner erweitern, Zähler addieren und den Nenner beibehalten) in jedem Körper gilt und nicht etwa eine besondere Eigenschaft der reellen Zahlen ist.

Gruß, mike
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2009 - 15:33:18    Titel:

Gelöscht, wegen Doppeleintrag

mike


Zuletzt bearbeitet von M_Hammer_Kruse am 03 Nov 2009 - 16:06:37, insgesamt einmal bearbeitet
Ph1l1p
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Anmeldungsdatum: 01.11.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2009 - 15:51:11    Titel:

dann war ich mit meinem inversen ja gar nicht so schlecht.
das mit dem neutralen element ist mir natürlich nicht in den sinn gekommen =(

ich habs jetzt mal durchgerechnet:

(a:b) + (c:d)
=(neutrales Element) (d:d)*(a:b) + (b:b)*(c:d)
= d*inv(d)*a*inv(b) + b*(inv)b*c*inv(d)
= d*a*inv(d)*inv(b) + b*c*ind(d)*inv(b)
= d*a*inv(b*d) + b*c*inv(b*d)
= inv(b*d)*(a*d+b*c)
= (ad+bd):(bd)

Ihr seid hier echt ne riesen hilfe Wink
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2009 - 16:12:39    Titel:

Schreibe statt e*a*inv(b)=d*inv(d)*a*inv(b)=d*a*inv(d)*inv(b) lieber
a*inv(b)=a*e*inv(b)=a*d*inv(d)*inv(b)=....

Denn dann mußt du inv(d) und a nicht vertauschen. Wer weiß denn, ob der Körper das zuläßt?

Gruß, mike

P.S.: Und noch was
Zitat:
d*a*inv(b*d) + b*c*inv(b*d)
= inv(b*d)*(a*d+b*c)
= (ad+bd):(bd)

Das geht so nicht. Da kannst Du inv(b*d) nach dem Ausklammern nicht als ersten Faktor schreiben. Denn davor war es der rechte Faktor. Das Distributivgesetz lautet doch nicht x*(y+z)=y*x+z*x.

mike
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