DGL eines linearen Standardkörpers

alduro · Newbie Anmeldungsdatum: 04.11.2009 Beiträge: 4

Hallo liebes Forum,

ich habe mal eine Frage bzgl einer inhomogenen Differentialgleichung der Form.

p0 * F + p1 * F(punkt) = q0 * x + q1* x(punkt)

p0, p1, q0 und q1 sind Konstanten.

F und F(punkt) sind Kraft bzw. die zeitliche Ableitung der Kraft.
x ist die Auslenkung
x(punkt) die zeitliche Ableitung vin x und somit die Geschwindigkeit.

Folgenden Abhängigkeiten stellen sich ein.

F(x,x(punkt)) --> F hängt also von Position und Geschw. (Feder-Dämpfer System)
x(t) und x(punkt)(t) hängen wiederum von der Zeit ab. (Dynamisches System)

Somit ergiebt sich : F(x(t),x(punkt)(t)) sowie F(punkt)(x(t),x(punkt)(t))

Ich hoffe das ich bis hier alles halbwegs verstädnlich erklären konnte.

Das System um das es sich handelt, nennt man Linearen Standardkörper.
Er wird gebildet, indem man einen Kelvin-Voigt Körper (Feder - Dämpfer Parallelschaltung)
und eine normal Feder in Reihe schaltet. Also eine Kraftelement !

Ich möchte die DGL jetzt für F, also die Kraft, lösen.

ERSTE FRAGE : Um was für eine DGL handelt es sich ?
Ist es eine "normale" inhomogene DGL, da F, F(punkt), x und x(punkt) nur von der Zeit abhängen ?
Oder ist es einen partielle DGL da F und F(punkt) von x und x(punkt) abhängen, x und x(punkt) wiederum aber von t ??

Ich bin der Meinung das der erste Fall die richtige Wahl ist. Lasse mich aber gerne eine besseren belehren.
Im folgenden möchte ich gerne mal meinen Lösungvorschlag präsentieren. Irgendwie krieg ich was raus, bin mit dem Ergebnis aber nicht so ganz zufrieden. Im Anschluss an die Lösung werde ich euch auch verraten wieso.

ALSO :

Lösen des homogenen Teils :

1.) Umstellen nach der höstens Ableitung

F(punkt) + p0/p1 * F = q0/p1 * x + q1/p1* x(punkt)

2.) Homogenen Teil betrachten :

F(punkt) + p0/p1 * F = 0

Kann jetzt über Trennung der Variablen bzw die Nullstellen des char. Polynioms gelöst werden. Ende vom Lied ist meiner Meinung nach die Lösung :

F = C * e^(-p0/p1 * t)

Ich denke das dass noch richtig ist .... Aber lasse mich auch da gerne korrigieren.

So, jetzt zum inhomogenen Teil :

Da fangen meine Spekulationen an. Klar hängt x und auch x(punkt) von der Zeit ab, aber ich berechne die Kraft ja für jeden Zeit bzw. Integrationsschritt der Dynamischen Analyse. Somit muss ich die oben angebenen DGL ja für jeden Intergrationsschritt der Dynamischen Analyse lösen. Jeder Zeitschritt wiederrum ist ja wie einen Momentaufnahme des bewegten Systems. Also wie ein Foto! Auf jedem dieser Fotos ist die Kraft und somit x und x(punkt) eine Konstante.
Also komm ich zu der Schlussfolgerung, dass die rechte Seite der DGL. eine Konstante ist.
Somit würde sich der imhomogene Teil der DGL sehr eínfach lösen lassen. Bin ein bisl eingerostet was das angeht. Kann auch mein tolles Mathescript aus dem dritten Semster nichtmehr finden. Ich nehmen deswegen einfach das an, was mir am einfachsten erscheint. Ein Polynom n-ten Grades, wobei n=0 ist. Also :

Ansatz s(t) = a0

Daraus folgt F = a0 und F(punkt) = 0

Substituiert man dies in die DGL folgt

(po/p1) * a0 = (q0/p1) * x + (q1/p1) * x(punkt)

also ist a0 = ( (q0/p1) * x + (q1/p1) * x(punkt) ) / (po/p1)

Hehe, ende vom Lied ist , dass der inhomogene Teil einfach übernommen werden kann .....
Mathevorlesung drittes Semester, da war doch was .... P-)

Ok das haben wir bis jetzt :

homogenen Teil + inhomogenen Teil

F(x, x(punkt)) = C * e^(-p0/p1 * t) + ( (q0/p1) * x + (q1/p1) * x(punkt) ) / (po/p1)
oder in etwas kürzer
F(x, x(punkt)) = C * e^(-p0/p1 * t) + a0

Anfangsbedingung F(0) = 0

Daraus folgt C = - a0

Somit ergiebt sich letzen Endes das amtliche Endergebnis :

F(x, x(punkt)) = - (( (q0/p1) * x + (q1/p1) * x(punkt) ) / (po/p1) ) * e^(-p0/p1 * t) + ( (q0/p1) * x + (q1/p1) * x(punkt) ) / (po/p1)

Das ist das was ich raus habe .... Sieht garnicht so schlech aus , aber interpretieren wir das mal, was wir da sehen ...
Angenommen x und x(punkt) sind konstant ! Das system ist also in Ruhe. Meiner Meinung nach, muss dann die Kraft einen Konstanten Wert liefern! Tut sie aber laut dem Term oben nicht ! Die Kraft ist neben x und x(punkt) auch von der Zeit abhängig . Somit wird sich er Wert von F mit der Zeit ändern ....
Der "vordere" Teil der Lösung, nämlich

- (( (q0/p1) * x + (q1/p1) * x(punkt) ) / (po/p1) ) * e^(-p0/p1 * t)

Ist dafür verantwortlich. Das kann doch nicht stimmen ?!?!?!?!?

Lege ich eine Masse auf ein Feder- Dämpfer System wird, wenn das System in Ruhe ist, eine konstante Kraft wirken.
Ob ich die Masse dann einen Tag, ein Jahr , oder nur eine Sekunde in Ruhe betrachte, ändert nichts an der Kraft ....

Deswegen bezweifel ich meine Lösung ....

Kann mir jemand nützliche Tipps geben ????

VIELEN VIELEN DANK an alle die bis hier durchgehalten haben und sich ihre Gedanken machen ....

Alles gute aus Moers ...
ALDURO !

alduro · Newbie Anmeldungsdatum: 04.11.2009 Beiträge: 4

Ich antworte mir mal selber ....

Manchmal muss man einfach nurmal eine Nacht drüber schlafen ...
(Und das ganze mal in Matlab plotten)

Setzt man, wie in meinem Beispiel vorgeschlagen, x = const und x(punkt)= 0
konvergiert die Funktion für t = unendliche.
Somit macht mein Ergebnis doch sinn.....

Gruß aus Heiligenhaus ...
ALDURO !