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Frage zu Ableitung
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Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2009 - 23:47:21    Titel: Frage zu Ableitung

Hallo,
würdet ihr mir bitte sagen, ob mein Weg richtig ist und wenn nein, wo mein Fehler liegt.

f(x) = 1/(Wurzel1+4x) = (1+4x)^-1/2
f'(x) = -1/2*(1+4x)^-3/2 * 4 = -2/1*(1+4x)^-3/2
f''(x) = -2/1*-7/2*(1+4x)^-7/2 * 4 = 56/2*(1+4x)^-7/2 = 28*(1+4x)^-7/2
f'''(x) = 28*-7/2*(1+4x)^-9/2 * 4 = 392 * (1+4x)^-11/2
... ist doch immer eine innere und äußere Ableitung.

Zweitens:
f(x) = (1+x²)^-1
f'(x) = -2x/(1+x²)^2
f''(x) = [-2 -4x² - 2x^4 + 2x*(1+x²)*2x] / (1+x²)^4
= [-2+2x^4)/(1+x²)^4
... ist doch nach der Quotientenregel zu lösen oder?

Danke für hilfreiche Antworten.

LG
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2009 - 23:58:19    Titel:

Daß Du aus dem Exponenten -3/2 in der ersten Ableitung gleich einen Exponenten -7/2 bei der zweiten machst, ist nicht richtig so. Das Weitere stimmt dann natürlich auch nicht.

Die zweite Aufgabe hast Du soweit richtig gerechnet, aber Du kannst die zweite Ableitung noch vereinfachen:
Du hast im Nenner (1+x²)^4 stehen. und in den beiden Teilen, die bei der Anwendung der Quotientenregel im Zähler standen, kam einmal (1+x²)² unverändert vor und das andere Mal abgeleitet. Da lieferte die äußere Ableitung auch einen Faktor (1+x²). Der taucht also in beiden Zähleranteilen und im Nenner auf und läßt sich daher herauskürzen.
Merke: Wenn vor der Anwendung der Quotientenregel im Nenner eine Potenz einer Funktion steht (hier die zweite Potenz von 1+x²), dann verdoppelt die sich zwar zunächst. Aber es läßt sich immer soviel wegkürzen, daß der Exponent am Ende nur um 1 erhöht ist.

Gruß, mike
Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 00:19:54    Titel:

Hallo,
zuerst danke für deine Antwort.

ich versuche nun meinen Fehler zu beseitigen.

f(x) = 1/(Wurzel1+4x) = (1+4x)^-1/2
f'(x) = -1/2*(1+4x)^-3/2 * 4 = -2/1*(1+4x)^-3/2
f''(x) = -2/1*-5/2*(1+4x)^-7/2 * 4 = 40/2*(1+4x)^-7/2 = 20*(1+4x)^-7/2
f'''(x) = 20*-7/2*(1+4x)^-9/2 * 4 = 280 * (1+4x)^-11/2
... ist doch immer eine innere und äußere Ableitung. War ein Kopierfehler!
Hoffe es stimmt nun.

Mein Problem mit der zweiten Lösung sollte ich schon haben.

Zum ersten jetzt aber noch. Wenn ich diese Ableitungen jetzt für eine Taylorreihe heranziehe, welche ich an der Stelle 0 bestimme, sollte bei Werten, welche ich annähernd bei 0 bestimme, das gleiche Ergebnis herauskommen als bei der direkten Berechnung. Ist hier meine Überlegung richtig? Die Taylorreihe ist doch nichts anderes als eine Annäherung und desto mehr Ableitungen ich mache, desto genauer wird mein Ergebnis.

Danke nochmals für deine Hilfe.

LG
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 00:34:45    Titel:

Nein, nein, nein:

1. Den Exponenten, so wie er ist nach vorne.
2. Den Exponenten selbst um 1 erniedrigen.
Beispiel: (4*x³)'=4*3*x²

Du erniedrigst den Exponenten schon mal bein Nach-vorne-Ziehen (-3/2 -> -5/2). Und dann im Exponenten selbst nochmal (-> -7/2).

Gruß, mike
Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 00:46:03    Titel:

OK

(x) = 1/(Wurzel1+4x) = (1+4x)^-1/2
f'(x) = -1/2*(1+4x)^[(-1/2)-1] * 4 = -2*(1+4x)^-3/2
f''(x) = -2*-3/2*(1+4x)^-5/2 * 4 = 24/2*(1+4x)^-5/2 = 12*(1+4x)^-5/2
f'''(x) = 12*-5/2*(1+4x)^-7/2 * 4 = -120 * (1+4x)^-7/2
Ich hoffe, dass ich es nun korrekt gemacht habe. Klar war es mir, aber leider habe ich es zu unübersichtlich geschrieben.

Kannst du mir auch noch ein Kommentar zu meiner Frage bez.Taylorreihe geben.

Danke!
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 00:49:04    Titel:

Ja, so sind die Ableitungen richtig. Und das mit der Taylorreihe ist auch korrekt.

Gruß, mike
Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 00:50:20    Titel:

Danke!
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