Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Folgen und Konvergenz
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Folgen und Konvergenz
 
Autor Nachricht
punchxxx
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 01.09.2009
Beiträge: 105

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 16:03:06    Titel: Folgen und Konvergenz

Hallo an alle, und zwar wollte ich wissen, ob mir jemand sagen könnte, wie ich bei der Folge x_n = sin(n) / 2^n die Konvergenz nachweisen könnte und gegebenenfalls den Grenzwert noch bestimmen.

Ich weiss nur, dass der Zähler wesentlich schneller gegen oo wächst als sin und dass der Sinus nur für [-1 ; 1] definiert ist.

Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann.
Bedanke mich schon voraus.

Grüße
BarneyG.
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 16:52:01    Titel:

Hallo,

also so wie das da steht, habe ich im Zähler sin(n).

Es gilt -1 <= sin(n) <= +1. Also ist diese Folge nach oben und unten beschränkt.

Im Nenner steht wohl 2^n.

Diese Folge geht gegen oo.

Nun ist der Grenzwert des Quotienten sin(n) / (2^n) gesucht.

Setze doch einfach mal n = 1000. Welchen Wert erhältst du denn dann? Wie wird der Grenzwert von sin(n) / (2^n) also wohl lauten? Very Happy

Grüße
punchxxx
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 01.09.2009
Beiträge: 105

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 17:46:52    Titel:

Der Grenzwert wird natürlich 0 lauten. Aber ich weiss nicht wie ich es nachweisen soll. Klar Grenzwert mit 0 existiert, aber wie kann man das nachweisen?
Binomialkoeffizient
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.07.2008
Beiträge: 589
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 18:08:24    Titel:

Hi,

du weißt, dass für den Sinus und für alle n€N gilt: -1 <= sin(n) <= 1
Jetzt kannst du dir eine Abschätzung für die gesamte Folge bauen.
Stichwort Sandwich-Lemma bzw. Einschnürungssatz.

Grüße, BK
punchxxx
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 01.09.2009
Beiträge: 105

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 18:28:34    Titel:

Da komme ich leider mit Sandwich-Lemma noch nicht so ganz klar.
Könntest du mir vielleicht bitte hier bei dieser Aufgabe vormachen?
BarneyG.
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 18:43:22    Titel:

Das mit dem Grenzwert 0 hast du doch schon richtig erkannt.

Du musst doch nun zeigen, dass zu jedem vorgegebenem epsilon > 0 eine Stelle n0 existiert mit der Eigenschaft

|sin(n) / (2^n) - 0| < epsilon für alle n >= n0

Beweis:

|sin(n) / (2^n) - 0| = |sin(n)| / (2^n) <= 1 / (2^n)

Wir haben hier verwendet, dass |sin(n)| <= 1 ist.

Und weil 1/ (2^n) gegen 0 konvergiert (notfalls begründen) ist alles bewiesen.

Grüße
punchxxx
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 01.09.2009
Beiträge: 105

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 18:53:12    Titel:

Ich verstehe...das war ja doch simpler als ich gedacht habe..ich dachte die ganze Zeit, dass ich bei der Ungleichung algebraisch nicht weiterkommen werde, aber somit hats sich es ja erledigt.
Ich danke dir vielmals BarneyG.

Viele Grüße
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Folgen und Konvergenz
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum