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lim x^a / a^x
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zod
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Anmeldungsdatum: 07.11.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 17:08:22    Titel: lim x^a / a^x

Hallo.

Ist es möglich mit einfachen Definitionen und Sätzen (also ohne Ableitung etc.) den Grenzwert von lim x^a / a^x für x gegen ∞ zu zeigen?

Ich dachte mir die x-te Wurzel ziehen hilft, dann wäre es lim x^(a/x) / a allerdings kennt man den Grenzwert von x^(1/x) noch nicht. Demnach ginge dies in der Richtung nicht.

Ideen?
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 23:30:06    Titel: Re: lim x^a / a^x

zod hat folgendes geschrieben:
allerdings kennt man den Grenzwert von x^(1/x) noch nicht.

warum nicht? der Grenzwert der x-ten Wurzel aus x für x -->∞ ist doch 1 Wink
ufuk90
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Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 155

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2009 - 02:41:33    Titel:

gehen den zähler und nenner nicht gegen ∞ ??

also: x^a / a^x = 1

mal den Zähler betrachtet: x^a: ( x gegen ∞) ---> ∞
mal den Nenner betrachtet: a^x: ( x gegen ∞) ---> ∞

∞ / ∞ = 1
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3140

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2009 - 05:07:15    Titel:

Ufuk, so einfach ist das nicht.

"oo/oo" ist ein unbestimmer Ausdruck. Der Grenzwert strebt gegen 0.

Aber das wissen die meisten ja.

Also ein anderer Weg über L´Hospital fällt mir leider nicht ein.

Oder:

Die Exponentialfunktion wächst schneller als die Potenzfunktion.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2009 - 16:43:37    Titel:

Hallo!

Ihr müsst aufpassen, da der Grenzwert natürlich von a abhängen kann (was er auch tut).

Für negative a ist für allgemeine, reelle x, der Wert a^x nicht definiert. Genauso liefert für a=0 der zu untersuchende Term eine Undefiniertheit. Also ist es sinnvoll sich auf positive a zu beschränken.

Und da mache man mal die Fallunterscheidung in a<=1 und a>1.

Beide Fälle lassen sich auch ohne Mittel der Infinitesimalrechnung (d.h. Ableitungen o.ä.) betrachten, beide Grenzwerte elementar zeigen. (Für den zweiten Fall benötige aber ich zumindest die Bernoulli-Ungleichung...)


Cyrix
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