Ungleichung beweisen ^^

Moujou · Newbie Anmeldungsdatum: 01.11.2009 Beiträge: 22

Aufgabe:
Zeige, dass für alle n € N, n ≥ 1 gilt:

2 ≤ (1 + 1/n) ≤ summe (von k=o bis n) 1/k! < 3

kann mir jemand einen Ansatz geben? wie zeige ich das?

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 12 Nov 2009 - 11:55:21 Titel:

Das sind insgesamt drei Ungleichungen, die Du einzeln beweisen mußt.

Aber bist Du sicher, daß die Aufgabe so lautet? Denn 2 ≤ (1 + 1/n) ist schon mal nur für n=1 richtig. Fehlt da nicht ein "hoch n"?

Gruß, mike
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√∞≠≤≥±≈∫≡¼⅓½⅔¾∧∨¬∈⊂⊄∩∪∂
αβγδεηκλμνπρσφωΓΔΘΛΣ

Moujou · Newbie Anmeldungsdatum: 01.11.2009 Beiträge: 22

ja stimmt ich hab das hoch n vergessen ^^ also muss ich die alle drei einzeln beweisen .. und wie geh ich da vor? mit vollst. induktion?

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 12 Nov 2009 - 12:25:59 Titel:

Bei der linken Ungleichung genügt es, zu zeigen, daß sie für n=1 gilt und daß die Folge der (1+1/n)^n monoton steigend ist.

Der mittleren kommst du am besten bei, indem Du (1+1/n)^n nach dem binomischen Lehrsatz expandierst und die Summanden einzeln mit denen der auf der anderen Seite stehenden Summe vergleichst.

Bei der rechten Ungleichung weiß ich im Moment nicht, wie das am Geschicktesten geht.

Gruß, mike

P.S.: Bei der dritten Ungleichung geht es auch ganz einfach und ohne die mühsame vollständige Induktion: Du kannst zwischen die Summe und die 3 den Ausdruck 1+Summe (von k=0 bis n) (1/2^k) schalten.
Na ja, so ganz ohne Induktion geht es dann doch nicht, denn Du mußt zeigen, daß 2^k<k! ist.

mike
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Moujou · Newbie Anmeldungsdatum: 01.11.2009 Beiträge: 22

wie zeige ich denn bei (1+1/n)^n das dies monoton steigend ist? =/

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 12 Nov 2009 - 13:49:01 Titel:

Indem du zeigst, daß (1+1/(n+1))^(n+1) größer ist als (1+1/n)^n.
Dazu mußt du (1+1/(n+1))^(n+1) in (1+1/(n+1))*(1+1/(n+1))^n aufspalten und dann noch ein wenig rechnen.

Gruß, mike
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Moujou · Newbie Anmeldungsdatum: 01.11.2009 Beiträge: 22

so weit hatte ich das mittlerweile auch schon =) nur wenn ich da weiter rechne sieht das danach bei mir komplizierter aus als vorher Very Happy

Moujou · Newbie Anmeldungsdatum: 01.11.2009 Beiträge: 22

könntest du mir da vllt noch nen schritt weiter helfen? alles andere .. also die anderen beiden ungleichungen hab ich jetzt schon bewiesen

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 12 Nov 2009 - 22:23:29 Titel:

Alles Unsinn!

Um zu zeigen, daß die linke Ungleichung gilt, ist es nichtmal nötig, die Monotonie zu zeigen. Es genügt, den Term (1+1/n)^n nach dem binomischen Lehrsatz zu entwickeln. Die ersten beiden Glieder liefern schon 2. Was dann noch kommt, maht es nur noch größer.

Gruß, mike
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