Primitivwurzel mod jeder ungeraden Primzahl

sranthrop · Senior Member Anmeldungsdatum: 30.06.2005 Beiträge: 538

Hi zusammen,

wir haben in Zahlentheorie die Aufgabe gestellt bekommen, zu beweisen, dass es keine ganze Zahl gibt, die Primitivwurzel modulo jeder ungeraden Primzahl ist. Da es auf die Aufgabe verhältnismäßig viele Punkte gibt, meine Ideen aber nicht so tiefsinnig sind, bin ich verunsichert und wäre um Unterstützung dankbar.

Mein Ansatz:
Ich hab mal angenommen, es gibt so eine Zahl a, die mod jeder ungeraden Primzahl Primitivwurzel ist. Dann ist sie das auch insbesondere mod 3. Hierfür kommt ja nur a=2 in Betracht. Weil aber 2^((7-1)/2)=2^3=8=1 (mod 7), ist a keine Primitivwurzel mod 7 (wir wissen schon, dass eine Zahl x genau dann Primitivwurzel ist, wenn x^((p-1)/d) inkongruent 1 mod p ist für jeden Teiler d von p-1), im Widerspruch zur Annahme.

Aber dann wäre das ja alles, und das finde ich merkwürdig. Also: Wo ist mein Denkfehler? =)

Vielen Dank schonmal,
sranthrop