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reele zahl finden...
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> reele zahl finden...
 
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andrewneu
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Anmeldungsdatum: 29.08.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2009 - 23:19:30    Titel: reele zahl finden...

hey leute,

kann mir einer vllt etwas bei der folgender aufgabe helfen:

ne reelle zahl finden für die gilt:

e^x^2-e^-x=wurzel aus 2

mir fehlt leider der ansatz.

muss man da irgendwie mit dem winkelfunktionen ran? zb e^x = coshx sinhx

oder eher mit dem Mittelwertsatz?

wär für jede hilfe dankbar


Zuletzt bearbeitet von andrewneu am 07 Dez 2009 - 23:50:11, insgesamt einmal bearbeitet
Rechenschieber
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Anmeldungsdatum: 06.10.2008
Beiträge: 1187
Wohnort: Dorsten (NRW)

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2009 - 23:47:09    Titel:

Das kann niemand Very Happy
reele Zahlen gibt es nicht.

LGR
andrewneu
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Anmeldungsdatum: 29.08.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 00:00:53    Titel:

Rechenschieber hat folgendes geschrieben:
Das kann niemand Very Happy
reele Zahlen gibt es nicht.

LGR


hmmm....dann versuchen wir mal reelle zahlen zu finden
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 00:14:26    Titel:

.

Zitat:
ne reelle zahl finden für die gilt:

e^x^2-e^-x=wurzel aus 2


die vernünftigere Frage, die
Himmiherrgottsakramentefixaleluhjanochmamilextoamo arschscheiß klumpfaregtz Cool
hätte stellen müssen, ist:

erkläre , was du mit e^x^2 meinst:

(e^x)^2 , oder e^(x²) , oder ..?

Smile
Silke99
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Anmeldungsdatum: 08.12.2009
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 11:04:13    Titel:

Guten Morgen!

Schade, dass auf deine Frage noch niemand so richtig geantwortet hat. Vorallem der Kommentar mit den reelen Zahlen war eher nicht zielfuehrend.

Ich habe mir mal ein paar Gedanken um die eine "Variante" deiner Gleichung gemacht - wir wissen ja noch nicht, ob da ein (e^x)^2 oder ein e^(x^2) steht. Waere gut, wenn du das nachtraegst. Ich schaue spaeter auch nochmal vorbei, ob du was dazu zu geschrieben hast.

Setzt man die Gleichung mit (e^x)^2 - e^(-x) = sqrt(2) an,
ist das Ganze durch Substitution e^x = z zu vereinfachen. Gibt es nun ein reell positives z, dass du substituierte Gleichung loest, so ist sein natuerlicher Logarithmus das gesuchte x. Substitution liefert:

z^3 - sqrt(2) * z - 1 = 0

Das Problem ist jetzt umformuliert in ein Nullstellenproblem eines Polynoms dritter Ordnung. Hier gibt es zunaechst mal mindestens eine Loesung fuer z aufgrund des Verhaltens fuer x-> +- unendlich. Leider ist die algebraische Bestimmung der Loesungen euphemistisch gesagt umstaendlich, also helfe ich mir mal mit ein bisschen Argumentation.

Fuer die Funktion f(z)=z^3 - sqrt(2) * z - 1 lassen sich die Extrema bestimmen, es zeigt sich, dass die Funktion punktsymmetrisch zu (0|-1) ist und dass der Hochpunkt unter der x-Achse liegt. Dann hat f nur eine Nullstelle, diese ist rechts vom Tiefpunkt.
Also existiert tatsaechlich ein positives z, das mit Resubstitution das gesuchte x liefert.

Die exakte Loesung will ich dir eigentlich nicht vorenthalten, aber irgendwie kann ich hier keine Bilder hochladen, und abtippen ist mir bei dem Term zu doof. Wenn du die exakte Loesung willst, schick' bitte ne PN an mich mit Emailadresse, dann kriegst du sie gemailt.

Kleiner Nachtrag:

Setzt man e^(x^2) - e^(-x) = sqrt(2) an, dann kann man recht leicht durch Logarithmieren der Gleichung und anschliessender Ausnutzung der dritten logarithmischen Rechenregel das Ganze in eine quadratische Gleichung verwandeln. Diese ist dann mit irgendeiner Loesungsformel loesbar.

Solltest du Fragen oder Anmerkungen zu einem der Ansaetze haben, schiess los.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8133
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 12:40:16    Titel:

Hallo Silke,

wie willst Du denn die letzte Gleichung logarithmieren?

Gruß, mike
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 12:41:51    Titel:

.
hallo Silke99
du hast einen guten Beitrag geschrieben Smile
hier noch ein paar Anmerkungen dazu:
Zitat:
z^3 - sqrt(2) * z - 1 = 0
Hier gibt es zunaechst mal mindestens eine Loesung fuer z
aufgrund des Verhaltens fuer x-> +- unendlich.

genau ... und mit deiner anschliessenden Untersuchung der Ableitungen
bekommst du dann auch noch, dass es nur genau eine reelle Lösung gibt.
deine dann abschliessende Bemerkung:
Zitat:
Also existiert tatsaechlich ein positives z, das mit Resubstitution das gesuchte x liefert.
sollte also genauer formuliert werden
(dass es eine Lösung haben muss, hast du ja schon ohne Ableitungen gewusst)

Zitat:
Leider ist die algebraische Bestimmung der Loesungen euphemistisch gesagt umstaendlich.. Cool
Die exakte Loesung will ich dir eigentlich nicht vorenthalten..
na ja , hier in diesem Fall solltest du dich vielleicht für mögliche Näherungslösungen begeistern?
(zB mit numerischen Methoden : z ≈ 1,4504... -> .. x ≈ ??)

ok?



aber dann noch dazu:
Zitat:
Setzt man e^(x^2) - e^(-x) = sqrt(2) an,
dann kann man recht leicht durch Logarithmieren der Gleichung
.......................................................................↑ Evil or Very Mad kannst du das bitte mal vorführen?
(beachte: links steht eine Differenz ..)

.
Silke99
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Anmeldungsdatum: 08.12.2009
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 13:45:33    Titel:

Mathefan, danke zunaechst fuer deine Anmerkungen und das Lob. Die Aussage ueber das Logarithmieren ist natuerlich falsch.

Der Clou bei der einen Loesung ist, dass sie tatsaechlich positiv ist. Waere sie naemlich negativ, dann wuerde die Resubstitution nicht funktionieren.
Und auf die Positivitaet der Loesung koennen wir schliessen, weil sie rechts des Tiefpunkts sein muss (und der ist wiederum rechts der y-Achse).

Zu der numerischen Naeherungsloesung: Die hab ich natuerlich auch berechnet, danke, dass du sie auch angegeben hast. Interessant ist, dass sie recht nahe bei sqrt(2) liegt, aber vom Term her bei weitem komplizierter ist.
Ich habe bei der Loesung bewusst keine Musterloesung vorgelegt, sondern ein paar Luecken gelassen. Die Resubstitution ist eine solche, und auch das Fehlen der Angabe der Ableitungen, die Berechnung der Extrema und der Nachweis der Punktsymmetrie. Ich gehe an diesen Stellen davon aus, dass der Frager das eh selbst nochmal durchrechnet.

Zu den Naeherungsloesungen kann ich nur sagen, dass ich sie mir abgewoehnt habe. Mathematik ist in meinen Augen eine exakte Wissenschaft, und das Ziel sollte sein, alle Erkenntnisse ohne Naeherungen zu gewinnen. Deshalb auch oben die etwas umfangreiche Argumentation, warum die Loesung ueberhaupt positiv sein muss. Aber das sehen ingenieursmaessig gepraegte Menschen immer etwas anders Wink

Aber jetzt muss ich ueber den zweiten Ansatz nochmal richtig nachdenken, nachdem ihr meinen ersten Vorschlag als ausgemachten Unsinn entlarvt habt... Embarassed

Nachtrag: Boah, das Forum macht mich wahnsinnig. Irgendwie dauert es ewig, bis man der Post auch erscheint... Liegt das am Server oder an meinem Rechner?

Nachtrag 2:

Da das Logarithmieren ja nu nicht geht, hier ein neuer Vorschlag:
Substitution x=ln(z) fuehrt auf ein Schnittpunktproblem mit 2 Loesungen:
Zunaechst ist e^(x^2)= (e^x)^x,
und mit der Substitution erhaelt man (ich hoffe, ich habe mich an dieser Stelle nicht verrechnet)
z^(ln z + 1) = sqrt(2) z + 1

Daraus kann man zwar argumentativ die Existenz zweier Loesungen folgern (die linke Seite ist ja streng monoton fallend bis zum Minimum und dann streng monoton steigend, waehrend fuer z=1 der Wert der Gerade groesser ist als der linken Seite), aber das ist irgendwie noch nicht sonderlich aussagekraeftig.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3107

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 16:03:45    Titel:

Zitat:
Zu den Naeherungsloesungen kann ich nur sagen, dass ich sie mir abgewoehnt habe. Mathematik ist in meinen Augen eine exakte Wissenschaft, und das Ziel sollte sein, alle Erkenntnisse ohne Naeherungen zu gewinnen. Deshalb auch oben die etwas umfangreiche Argumentation, warum die Loesung ueberhaupt positiv sein muss. Aber das sehen ingenieursmaessig gepraegte Menschen immer etwas anders


Hi Silke,

Du schreibst

Zitat:
Mathematik ist in [deinen] Augen eine exakte Wissenschaft.


Du möchtest

Zitat:
alle Erkenntnisse ohne Naeherungen [...] gewinnen.


Dann erkläre mir Dein Vorhaben doch an dem durchgerechneten Beispiel.

Deine Argumentation, eine Nullstelle müsse existieren ist natürlich richtig und auch die Lage kennst Du. "Rechts" vom Tiefpunkt.
Ist das etwa eine exakte Lösung?
Oder missverstehe ich hier etwas.^^

Wie bist Du denn auf die Lösung gekommen? Mit dem Newton-Verfahren?
Oder mit der Cardano-Formel?

Beide liefern die exakte Lösung.

Das Newton Verfahren für unendlich viele Schritte.
Nachteil: Wer kann das rechnen?

Cardano liefert sie mit seiner Lösungsformel.
Vorteil: exakte Lösung, dennoch mit Aufwand verbunden.

Leider kann die Lösung nicht immer in geschlossener Form, also exakt, angegeben werden.
Bitte aufklären, wenn ich etwas missverstehe.
mathefan
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Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2009 - 16:14:06    Titel:

.
Hi Silke99
Zitat:
z^3 - sqrt(2) * z - 1 = 0

Und auf die Positivitaet der Loesung koennen wir schliessen,
weil sie rechts des Tiefpunkts sein muss
(und der ist wiederum rechts der y-Achse).

Very Happy richtig .. aber das kannst du bei dem Beispiel hier viel müheloser rausfinden:

du weisst doch schon, dass diese kubische Parabel y= z^3 - sqrt(2) * z - 1
gedenkt, im I.Quadranten zu "verschwinden" ..
und nun siehst du doch schon von Weitem, dass sie zB für z=0 oder für z=1
sichtbar unter dem Niveau der z-Achse herumdümpelt .. Smile
also ist eine Nullstelle mit Sicherheit irgendwo rechts von z=1 oder so..
ok?

Zitat:
Zu den Naeherungsloesungen kann ich nur sagen, dass ich sie mir abgewoehnt habe.
Mathematik ist in meinen Augen eine exakte Wissenschaft,
und das Ziel sollte sein, alle Erkenntnisse ohne Naeherungen zu gewinnen.
Very Happy .. wunderbar - nur wirst du alsbald wohl jede Menge simpler Problemchen kennenlernen,
für die es nicht gelingen wird "exakte" Lösungen zu ermitteln..

und da ist dann wieder der Verdienst der reinen Mathematik, dass sie eben auch behilflich ist,
für die schnöden praktischen Probleme den "ingenieursmaessig gepraegten Menschen" Very Happy (ich gehöre
übrigens selbst nicht dazu) sinnvolle Approximationen (einschliesslich "Restgliedbetrachtungen" usw)
zur Verfügung zu stellen...

.. und damit kannst du dann übrigens auch ganz schnell bestätigt finden:
" fuehrt auf ein Schnittpunktproblem mit 2 Loesungen: " -1,26535 .. und 0,7904..


und dann noch dazu:
Zitat:
Nachtrag: Boah, das Forum macht mich wahnsinnig.
Irgendwie dauert es ewig, bis man der Post auch erscheint...
Liegt das am Server oder an meinem Rechner?
.. das liegt nicht an deinem Rechner sondern an den Betreibern/Versagern hier,
denen es offenbar egal ist, wie lange du wartest, ob/ bis der Server in vernünftiger Zeit reagiert, Hauptsache sie verdienen mit der Werbung ..
soviel zu deiner Beruhigung zu w.w.uni.. Evil or Very Mad usw.
.
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