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Probleme bei Integral (Maschinenbau 1. Sem.)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Probleme bei Integral (Maschinenbau 1. Sem.)
 
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Arib
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Anmeldungsdatum: 25.12.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 25 Dez 2009 - 18:22:07    Titel: Probleme bei Integral (Maschinenbau 1. Sem.)

Hallo!

Folgendes Integral:

(Integral) (wurzel(x-1) +2) / (x+ wurzel(x-1)) dx

Subst.:
t= wurzel(x-1) => x= t^2 +1
dx/dt= 2t => dx= 2t dt

=> (Integral) ((t + 2) / (t^2 +t +1) )2t dt
=> (Integral) ((2t^2 +4t) / (t^2 +t +1) )dt
=> 2* (Integral) ((t^2 +2t) / (t^2 +t +1) )dt

Wie gehts jetzt weiter? Mir fällt nur Faktorzerlegung ein, aber t^2 + t +1 kriegt man nicht zerlegt Sad
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 25 Dez 2009 - 18:39:21    Titel:

Das laesst sich in drei Schritten erledigen:

1) t^2 im Nenner mittels Polynomdivision eliminieren

2) Den Term auf die Form f'(t)/f(t) bringen, indem man ggf. die 0 addiert. Die Stammfunktion dazu ist ln(|f(x)|)

Beispiel:
(5t)/(t^2 + t)
= 5/2 * (2t + 1 - 1) / (t^2 + t)
= 5/2 * (2t + 1)/(t^2 + t) + 5/2 * (-1/(t^2 + x))
= 5/2 * (2t + 1)/(t^2 + t) - 5/(2t^2 + 2x)

Der erste Term laesst sich sehr einfach itnegrieren.

3) Der ggf. neu entstandene letzte Term laesst sich mittels einer Substitution auf die Form k/(z^2 + 1) bringen -> Die Stammfunktion dieses Term ist bekannt.

Tipp: Scheitelpunktform!
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Dez 2009 - 18:55:05    Titel:

.
Zitat:
(t^2 +2t) / (t^2 +t +1)

aber t^2 + t +1 kriegt man nicht zerlegt
Very Happy genau, also mach es so :


(t² +2t) : (t² +t +1) = 1 + [ (t-1)/(t² +t +1) ]

und schreib dann [ (t-1)/(t² +t +1) ]
noch um in
[ (t+0,5)/(t² +t +1) ] - [ (1,5/(t² +t +1) ]

dann hast du drei Summanden, für die du wohl mühelos die jeweilige Stammfunktion
gerade aufschreiben kannst ..

ok?
Arib
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Anmeldungsdatum: 25.12.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2009 - 14:34:23    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:
Das laesst sich in drei Schritten erledigen:

1) t^2 im Nenner mittels Polynomdivision eliminieren

2) Den Term auf die Form f'(t)/f(t) bringen, indem man ggf. die 0 addiert. Die Stammfunktion dazu ist ln(|f(x)|)

Beispiel:
(5t)/(t^2 + t)
= 5/2 * (2t + 1 - 1) / (t^2 + t)
= 5/2 * (2t + 1)/(t^2 + t) + 5/2 * (-1/(t^2 + x))
= 5/2 * (2t + 1)/(t^2 + t) - 5/(2t^2 + 2x)

Der erste Term laesst sich sehr einfach itnegrieren.

3) Der ggf. neu entstandene letzte Term laesst sich mittels einer Substitution auf die Form k/(z^2 + 1) bringen -> Die Stammfunktion dieses Term ist bekannt.

Tipp: Scheitelpunktform!



Danke, das hat mir geholfen, aber beim 3. Schritt hab ich noch Probleme.

Also die Form k/(z^2 + 1) bringt mir k arctan(z) als Stammfunktion.

Aber mit was für einer Substitution komm ich denn auf die diese Form?
Mein Term sieht so aus: -3 / (t^2 +t +1)


Du sagst als Tipp Scheitelpunktform... Dann hab ich -3 / [(t+0.5)^2 + 3/4] ?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2009 - 15:43:10    Titel:

.
Zitat:
Mein Term sieht so aus: -3 / (t^2 +t +1)
Sad bis auf den Faktor 2 - den du doch zu Beginn vor das Integral geschrieben hast?! -
hatte ich dir das oben auch schon so notiert :

- [ (1,5/(t² +t +1) ] = - 2 / [ (1/3)*(2x+1)² + 1 ]

substituiere: u = (2x+1)/ √(3)

Wink
Arib
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Anmeldungsdatum: 25.12.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2009 - 15:20:49    Titel:

jetzt hab ichs

danke Smile
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