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Beweis von Unterraumeigenschaften
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ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 18:15:10    Titel: Beweis von Unterraumeigenschaften

Hab mit folgendem Beweis Schwierigkeiten:

Seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und A,B,C Unterräume von V mit (A ist Teilmenge C). Zeigen Sie:

(A+B)Schnitt C = A+(B Schnitt C)

Kann mir jemand nen Tipp geben, wie ich das Beweise?
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 18:24:44    Titel:

Hi ellocko,

das ist nicht schwer, nur die beiden Sachen zeigen:

x element (A+B)Schnitt C <=> ...<=> x element A+(B Schnitt C)
x nicht element (A+B)Schnitt C <=> ...<=> x nicht element A+(B Schnitt C)
ellocko
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 12:42:35    Titel:

Das beruhigt mich... Very Happy

könntest du das ein Bißchen näher erläutern? Oder Jemand anders, der es liest? Weiß noch nicht so richtig weiter... Rolling Eyes
Hiob
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 19:02:12    Titel:

+ ist Mengenvereinung, * ist Mengenschnitt, o ist logische Vereinungen (ODER), u ist logischer Schnitt (UND)

Zu zeigen: (A+B)*C = A+(B*C)

Der erste Teil von Jockelx reicht schon.
Man zerlegt erst die Aussage in logisch verknüpfte Teilaussagen, von denen man weiß, wie sie sich umstellen lassen.
Es gilt für drei Aussagen D, E, F die logische Äquivalenz: (D+E)*F = (D*F)+(E*F)
und weil A Teilmenge von C ist: A=A*C.

x€(A+B)*C |Definition von *
<=> [x€(A+B)]u[x€C] |Definition von +
<=> [[x€A]o[x€B]]u[x€C] |logische Äquivalenz
<=> [[x€A]u[x€C]]o[[x€B]u[x€C]] |Teilmengeneigenschaft
<=> [x€A]o[[x€B]u[x€C]] |Definition von *
<=> [x€A]o[x€(B*C)] |Definition von +
<=> x€(A+(B*C))
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