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Suche Lösung für Extremwertaufgabe
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merten
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BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 18:31:19    Titel: Suche Lösung für Extremwertaufgabe

Hallo,

Ich habe ein Problem mit einer Extremwertaufgabe, die wie folgt aussieht:

Gegeben sind zwei quadratische Funktionen

f(x) = ((-1/t^2)*x^2)+1

und

g(x) = ((-1/t)*x^2) +1

mit 0<t<1

Die Frage ist, für welches t die Fläche, die vollständig durch die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) begrenzt wird maximal ist.

Ich komm mit der Aufgabe einfacht nicht zurecht und suche verzweifelt nach Lösungsansätzen, kann mir bitte jemand sagen, wie das funktioniert?

schonmal vielen Dank!
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 19:10:10    Titel:

f(x) = ((-1/t^2)*x^2)+1
Nullstellen:
0 = (-1/t^2)*x^2+1
x^2 = t^2
x1 = t
x2 = -t


g(x) = ((-1/t)*x^2) +1
Nullstellen:
0 = ((-1/t)*x^2) +1
x^2 = t
x1 = W(t)
x2 = -W(t)

Aufgrund von Symmetrie:
A/2(t) = int [0,t] f(x) dx - int[0,W(t)] g(x) dx
Stammfunktionen:
((-1/t^2)*x^2)+1 -> [(-1/3*t^2)*x^3+x]
((-1/t)*x^2) +1 -> [(-1/3t)*x^3 + x]


A/2(t) = (-1/3*t^2)*t^3+t) - ((-1/3t)*W(t)^3 + W(t))
A/2(t) = (-1/3 t + t) - (-1/3 W(t) + W(t)) =
A/2(t) = -1/3 t + t + 1/3 W(t) - W(t)) = 2/3 t - 2/3 W(t)
A/2(t)' = 2/3 - 2/3 * 1/2W(t) = 2/3 - 1/(3W(t))
lokales Extrema:
0 = 2/3 - 1/(3W(t))
1/3W(t) = 2/3
1/W(t) = 2
W(t) = 1/2
t = 1/W(2)
Für t = 0,707.... wird die Fläche maximal.

Randwerte:
t = 0
A/2(0) = 2/3 t - 2/3 W(t) = 0
t = 1
A/2(1) = 2/3 - 2/3 = 0
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