Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

analytische geometrie mit vektoren
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> analytische geometrie mit vektoren
 
Autor Nachricht
boardr jumpr
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 22:08:15    Titel: analytische geometrie mit vektoren

Also ich hab hier die folgende Aufgabe...
Es wäre sehr nett wenn jemand wenigstens ein paar Denkanstöße geben könnte,weil ich irgendwie nicht klarkomme... Confused

Betrachtet werden die Punkte O(0/0/0), A(1/0/0), B(0/1/0) und C(0/0/1) sowie die Punkte P(t/0/t) und Q(1-2t/t/t) mit t E IR.
a) Schneiden sich die Geraden durch B und P sowie durch O und Q, wenn man t=1/2 wählt? Nein, tuen sie nicht, das Ergebnis habe ich schon.
b) Gibt es ein t E IR, sodass die Richtungsvektoren der Geraden durch B und P sowie die Geraden durch O und Q linear abhängig sind? Nein.
c) Wie muss t gewählt werden, damit die Geraden durch Bund P sowie die Gerade durch Ound Q sich schneiden? Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S. Die Gerade durch die Punkte C und S schneidet die Ebene, in der die Punkte O, A und B liegen, in einem Punkt R. Berechnen Sie die Koordinaten von R.
d) Wie muss t gewählt werden, damit der Punkt U(t/t/t) in der gleichen Ebene liegt wie die Punkte A, B und C?
e)Wie muss t gewählt werden, damit die Geraden durch B und P sowie die Gerade durch O und U(t/t/t) sich schneiden? Berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes T.
f) Zeigen Sie, dass R der Schwerpunkt des Dreiecks OAB ist.
g) Zeigen Sie: Wählt man t so, dass der Punkt U(t/t/t) in der gleichen Ebene liegt wie die Punkte A, B und C, dann ist U der Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
h) In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Strecke CR?
i) In welchem Verhältnis teilt der Punkt T die Strecke OU?
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 22:44:02    Titel:

c) Wie muss t gewählt werden, damit die Geraden durch B und P sowie die Gerade durch Ound Q sich schneiden? Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S. Die Gerade durch die Punkte C und S schneidet die Ebene, in der die Punkte O, A und B liegen, in einem Punkt R. Berechnen Sie die Koordinaten von R.


O(0/0/0), A(1/0/0), B(0/1/0) C(0/0/1) P(t/0/t) Q(1-2t/t/t)

Gerade BP
g: x = (0/1/0) + r(t/-1/t)

Gerade OQ
h: x = (0/0/0) + s(1-2t/t/t)

Schneiden von h und g
(0/1/0) + r(t/-1/t) = (0/0/0) + s(1-2t/t/t)
(0/1/0) = s(1-2t/t/t) + r(-t/1/-t)

0 = s - 2ts - rt = s - t(2s + r)
1 = st + r
0 = st - rt -> st = rt -> s = r

0 = s - t(2s + s) = s - 3ts -> s = 3ts
1 = st + s
1 = st + 3ts = 4ts
t = 1/4s

1 = s * 1/4s + s
1 = 1/4 + s
s = 3/4 = r
t = 1/4s
t = 1/3

g: x = (0/1/0) + r(0,33/-1/0,33)
h: x = (0/0/0) + s(0,33/0,33/0,33)

Schnittpunkt S
g: x = (0/1/0) + 3/4 *(0,33/-1/0,33) -> S(0,25/0,25/0,25)
h: x = (0/0/0) + 3/4 *(0,33/0,33/0,33) -> S(0,25/0,25/0,25)
Ok

Gerade durch C und S
k: x = (0/0/1) + t(0,25/0,25/-0,75)

Ebene O(0/0/0), A(1/0/0), B(0/1/0)
e: x = (0/0/0) + a(1/0/0) + b(0/1/0)

Schnittpunkt von e und k
(0/0/1) + t(0,25/0,25/-0,75) = (0/0/0) + a(1/0/0) + b(0/1/0)
(0/0/1) + t(0,25/0,25/-0,75) = a(1/0/0) + b(0/1/0)
(0/0/1) = t(-0,25/-0,25/0,75) + a(1/0/0) + b(0/1/0)


1 = 3t/4 -> t = 4/3
0 = -t/4+ a -> a = 1/3
0 = -t/4 + b -> b = 1/3

Punkt R
k: x = (0/0/1) + 4/3 * (0,25/0,25/-0,75) -> R(0,33/0,33/0)
e: x = (0/0/0) + 1/3(1/0/0) + 1/3(0/1/0) -> R(0,33/0,33/0)
OK


Zuletzt bearbeitet von sambalmueslie am 18 Mai 2005 - 22:58:09, insgesamt einmal bearbeitet
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 22:55:42    Titel:

d) Wie muss t gewählt werden, damit der Punkt U(t/t/t) in der gleichen Ebene liegt wie die Punkte A, B und C?

A(1/0/0), B(0/1/0) und C(0/0/1)

Ebene durch A,B,C
E: x = (1/0/0) + r(-1/1/0) + s(-1/0/1)

Punkt (t/t/t) auf der Ebene E
(t/t/t) = (1/0/0) + r(-1/1/0) + s(-1/0/1)

t = 1 - r - s
t = r
t = s

t = 1 - t - s
2t = 1 - s
2t = 1 - t
3t = 1
t = 1/3

r = s = t = 1/3
t = 1 - r - s
1 = r + s + t = 3 * 1/3 = 1 also

U(0,33/0,33/0,33)

E: x = (1/0/0) + 1/3(-1/1/0) + 1/3(-1/0/1) -> U(0,33/0,33/0,33)
Ok
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 23:09:10    Titel:

e)Wie muss t gewählt werden, damit die Geraden durch B und P sowie die Gerade durch O und U(t/t/t) sich schneiden? Berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes T.

Gerade durch BP B(0/1/0) P(t/0/t)
g: x= (0/1/0) + r(t/-1/t)

Gerade durch O(0/0/0),U(t/t/t)
h: x = (0/0/0) + s(t/t/t)

Schnittpunkt
(0/1/0) + r(t/-1/t) = s(t/t/t)
(0/1/0) = s(t/t/t) + r(-t/1/-t)


0 = st - rt -> st = rt -> s = r
0 = st - rt
1 = st + r -> 1 = st + s - > 1 = s(t+1) -> s = 1/(t+1)


h: x = (0/0/0) + 1/(t+1)*(t/t/t) -> T(t/(t+1)|t/(t+1)|t/(t+1))
g: x= (0/1/0) + 1/(t+1)(t/-1/t) -> T(t/(t+1)|1-1/(t+1) |t/(t+1))

folgt t/(t+1) = 1-1/(t+1)
t = (t+1) - (t+1)/(t+1) = (t+1) - 1
t = t
Also T(t/(t+1)|t/(t+1)|t/(t+1))
mit t=1/3 aus c)

T(0,25/0,25/0,25)


Zuletzt bearbeitet von sambalmueslie am 18 Mai 2005 - 23:30:27, insgesamt einmal bearbeitet
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 23:11:16    Titel:

f) Zeigen Sie, dass R der Schwerpunkt des Dreiecks OAB ist.

O(0/0/0), A(1/0/0), B(0/1/0)

Schwerpunkt s = 1/3 (a + b + c)

s = 1/3 ( (0/0/0)+(1/0/0)+(0/1/0))
s = 1/3(1/1/0)
S = (0,33/0,33/0) = R(0,33/0,33/0)
Stimmt
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 23:13:35    Titel:

g) Zeigen Sie: Wählt man t so, dass der Punkt U(t/t/t) in der gleichen Ebene liegt wie die Punkte A, B und C, dann ist U der Schwerpunkt des Dreiecks ABC.

Ebene durch A,B,C
E: x = (1/0/0) + r(-1/1/0) + s(-1/0/1)

(t/t/t) = (1/0/0) + r(-1/1/0) + s(-1/0/1)
U(0,33/0,33/0,33) siehe d)

A(1/0/0), B(0/1/0) und C(0/0/1)
s = 1/3 (a + b + c)
s = 1/3 ((1/0/0)+(0/1/0) + (0/0/1))
s = 1/3 (1/1/1)
S(0,33/0,33/0,33) = U(0,33/0,33/0,33)
Stimmt
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 23:37:42    Titel:

h) In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Strecke CR?
C(0/0/1) R(0,33/0,33/0)
CR = (0,33/0,33/-1)
|CR| = W(1/9 + 1/9 + 1) = W(11/9) = 1,1055LE

S(0,25/0,25/0,25)
CS = (0,25/0,25/-0,75)
|CS| = W(1/16 + 1/16 + 9/16) = W(11/16) = 0,829LE
RS = (-0,833/-0,833/0,25)
|RS| = W(1/144 + 1/144 + 1/16) = W(11/144) = 0,276LE

S teilt im Verhältniss:
W(11/16)/W(11/144) -> W(11/16 * 144/11) -> W(9) -> 3
Verhältniss |CS|/|RS| = 3

i) In welchem Verhältnis teilt der Punkt T die Strecke OU?
O(0/0/0)
T(0,25/0,25/0,25)
OT = (0,25/0,25/0,25)
|OT| = W(3/16)

U(0,33/0,33/0,33)
UT = (-0,833/-0,833/-0,833)
|UT| = W(3/144)

|OT|/|UT| = W(3/16)/ W(3/144) = W(3/16 * 144/3) = W(9) = 3
|OT|/|UT| = 3

Amerkung: T liegt außerhalb von OU darum irgendwie komisch Wink
Tippfehler??? Hab T und U nachgeprüft stimmen.
boardr jumpr
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 00:05:12    Titel:

oh mann. danke danke danke für die mühe!!!
ich hab nochmal versucht die aufgaben zu lösen und hab a) bis c) geschafft. Werde mir nun deine lösungen mal anschauen.
nochmals danke!
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> analytische geometrie mit vektoren
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum