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Integral vom Produkt zweier stetiger Funktionen
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nafets
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Anmeldungsdatum: 09.12.2004
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 08:19:08    Titel: Integral vom Produkt zweier stetiger Funktionen

Hallo zusammen,

neben diversen zu berechnenden Integralen, die viel Schreibarbeit erfordern, aber wenig Punkte bringen, gibt es auch wieder ein paar Beweise. Einer wäre z.B.
Zitat:
Sei f: [a,b] -> R stetig und sei
\int_{a}^{b}{fg}dt = 0
für jede stetige Funktion g: [a,b] -> R. Zeigen Sie, dass f = 0 sein muss.
.
Na ja, anschaulich ist das wieder klar. Bloß soweit, dass wir als Beweis "trivial" hinschreiben dürfen, sind wir leider noch nicht.
Ich denke, dass ich mich für g gleich oBdA auf die Funktionen beschränken kann, die nur über der x-Achse liegen. Wo setze ich denn jetzt aber den Hebel an?


Danke im Voraus,

Stefan
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 18:38:55    Titel: Re: Integral vom Produkt zweier stetiger Funktionen

Nimm halt das Gegenteil an: f<>0.
1. Fall: Es gibt ein c mit f(c)>0. Da f stetig ist, ist f auch in einer Umgebung von c größer Null.
g sei außerhalb der Umgebung Null und in der Umgebung größer Null. Dann ist die Verkettung fg auch innerhalb der Umgebung größer Null und außerhalb Null. Folglich ist das Integral von fg größer Null. Widerspruch zur Voraussetzung.
Also kann f in keinem c größer Null sein.

2. Fall: Es gibt ein c mit f(c)<0.
Geht analog. Also kann f in keinem c kleiner Null sein.

Damit ist f=0.
nafets
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Anmeldungsdatum: 09.12.2004
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 20:29:51    Titel:

Na ja,

ich habe das ja etwas kürzer. Da ja auch g=f sein kann, kann man
\int{f(t)^2}dt schreiben, und das wird bekanntlich nur für f=0 Null.


Aber trotzdem vielen Dank,

Stefan
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