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Immernoch diese Extremwertaufgabe
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sanjilamc
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Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 84
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 10:38:35    Titel: Immernoch diese Extremwertaufgabe

Hallo,

Ich habe diese Aufgabe gestern schonmal hier ins Forum gestellt und auch sehr bald hilfe erhalten (danke sambalmuesli). mir ist dann aber aufgefallen, dass ich die zweite funktion falsch abgeschrieben habe Embarassed
Die aufgabe sieht wie folgt aus:

Gegeben seien zwei quadratische Funktionen

f(x) = ((-1/t^2)*x^2)+1

und

g(x) = ((-1/t)*x^2) +t

mit 0<t<1

Die Frage ist, für welches t die Fläche, die vollständig durch die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) begrenzt wird maximal ist.

Ich komm mit der Aufgabe einfacht nicht zurecht und suche verzweifelt nach Lösungsansätzen, kann mir bitte jemand sagen, wie das funktioniert?

schonmal vielen Dank!
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 19 Mai 2005 - 12:37:27    Titel:

Hm gleiches Prinzip:
Nullstellen:
f(x) = ((-1/t^2)*x^2)+1
x = +- t

g(x) = ((-1/t)*x^2) +t
x^2/t = t
x^2 = t^2
x = +- t

Also:
int [-t,t] f(x) - g(x) dx
int [-t,t] ((-1/t^2)*x^2)+1 - ((-1/t)*x^2) -t dx
int [-t,t] -x^2/t^2+1+ x^2/t -t dx
Stammfunktion:
[-x^3/3t^2 + x + x^3/3t - tx]

Aufgrund von Symmetrie:
A/2(t) = -t^3/3t^2 + t + t^3/3t - t*t = -t/3 + t + t^2/3 - t^2
A/2(t) = -2/3t^2 + 2/3 t
A/2(t)' = -4/3t + 2/3
lokales Extrema:
4/3t = 2/3
t = 2/3 * 3/4 = 1/2

A/2(1/2)'' = -4/3 also Hochpunkt

Für t = 1/2 wird A maximal. A/2(1/2) = -1/6 + 2/6 = 1/6 -> A = 1/3FE
sanjilamc
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Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 84
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2005 - 00:35:03    Titel:

super, vielen dank, da wär ich nie drauf gekommen,
aber die sache mit der symmetrie hab ich nicht ganz verstanden, wieso wird t=x??
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2005 - 11:32:59    Titel:



So sind die Graphen für t=1/2:
jetzt geht die Fläche nach links(vom Ursprung aus) genausweit wie nach links
und die Höhe ist auch links und rechts gleich. Also rechne ich einfach die maximale Fläche nur für den Teil auf der rechten Seite der Y-Achse aus, da die genauso groß ist wie die auf der linken Seite. Und wenn die halbe Fläche maximal wird, dann muss auch die ganze Fläche maximal werden.

t wird x weil ich da das Integral im bereich 0 -> t bilde und dann in die Stammfunktion einsetze. Die Stammfunktion von 0 ist indem fall 0 darum fällt das weg. Du kannst auch das Integral von -t nach t bilden, dann kommt
A(t) = -4/3t^2 + 4/3 t raus, was das doppelte von dem ist was ich als A/2 bezeichne. Nur ist das vom Umstellen bisschen komplizierter, darum der Trick mit 0.
sanjilamc
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Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 84
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2005 - 14:13:38    Titel: ich will ja nicht nerven...

...aber ich versteh nicht, wie du von -t/3 + t + (t^2)/3 - t^2
auf -2/(3*t^2) + 2/3 t kommst...

auf jedenfall aber tausend dank für die symmetrieerklärung Very Happy
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2005 - 14:17:39    Titel: Re: ich will ja nicht nerven...

sanjilamc hat folgendes geschrieben:
...aber ich versteh nicht, wie du von -t/3 + t + (t^2)/3 - t^2
auf -2/(3*t^2) + 2/3 t(das heißt -2/3 * t^2 + 2/3t )!! kommst...

auf jedenfall aber tausend dank für die symmetrieerklärung Very Happy


-t/3 + t + (t^2)/3 - t^2 etwas anders ausgedrückt:
-1/3 * t+ 1*t + 1/3 * t^2 - 1* t^2
(-1/3 + 1)t + (1/3 - 1)t^2 = 2/3t - 2/3 t^2
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