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Logarithmus Rechenregeln
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Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 20:26:45    Titel:

Na gut, dann müsstest du aber mindestens noch über die analytische Definition des natürlichen Logarithmus zeigen, dass log[u](x) = ln(x) / ln(u) gilt. Wie sähe das aus?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 20:46:02    Titel:

Hi

@ TheHornedGod:

Eigentlich hast Du recht.

Die Regel

logp(x) = ln(x)/ln(p)

sollte man schon kennen.

Gut, in dem Fall hat er es vielleicht nicht gesehen, mit Deinem Tipp spätestens hätte ein Licht aufgehen sollen.

Dann wäre aber die Frage gekommen, warum gilt

logp(x) = ln(x)/ln(p) ?

Und ich finde, diese Gleichung ist nicht unbedingt selbstverständlich (wenn man sie nicht kenn).

Somit finde ich den Weg von Annihilator ganz gut geeignet.

Okay, man kann jetzt darüber streiten, ob die Herleitung für

log[b](a^n) = n*log[b](a)

nötig gewesen wäre. Für einen sauberen Beweis sicherlich.


Was mir nicht ganz klar ist.

Ich kenne die Funktionalgleichung

L(ab) = L(a) + L(b)

Das der Logarithmus das erfüllt, sieht man ja schon.
Nur, folgen Rechenregeln nicht der Definition, und nicht umgekehrt?

Hier stelle ich eine Rechenregel auf und sage sallop, dass erfüllt der Logarithmus.

Das Gleiche gilt z. B. für die Trigonometrie.

g(a+b) = f(a)*g(b) + f(b)*g(a)
f(a+b) = f(a)*f(b) - g(a)*g(b)

Ich verstehe nicht, wie ich hier auf Sinus und Kosinus komme, wenn ich die Lösung nicht kenne.

Grüße
TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 21:48:54    Titel:

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Na gut, dann müsstest du aber mindestens noch über die analytische Definition des natürlichen Logarithmus zeigen, dass log[u](x) = ln(x) / ln(u) gilt. Wie sähe das aus?


Sry, ich meinte nicht, dass man das zeigen kann, sondern, dass man log[u] quasi so definiert, weil der Ausdruck auf der rechten Seite offensichtlich die Eigenschaften hat, die man für einen log[u] haben will,

ln(u^t) = t ln(u)

--> ln(u^t)/ln(u) --> ln(x)/ln(u) = f(x)

, wobei f(u^t) = t.

Also definiert man:
log[u](x) := ln(x)/ln(u)


So wie ich das gelernt habe ist das also quasi die Definition von Logarithmen zu anderen Basen. Deshalb wars ja eben für mich wohl die erste Idee, das zu verwenden. Mehr sag ich nicht Smile.

Ich will da jetzt auch echt nimmer so drauf rumreiten - Annihilator: Deine Lösung ist sicher schöner, ja, weil sie einfach nur grundlegende Formeln mit den Logarithmen nutzt, die garantiert jeder kennt, was bei der von mir benutzten jetzt sicher nicht der Fall ist.
Ich wollt mich doch einfach nur zur Wehr setzen, wenn ihr sagt, meine Lösung sei nicht so toll Wink .

Very Happy
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 22:16:04    Titel:

@deniz

Du kannst solche Funktionalgleichung als Bestimmungsgleichung lesen und Dir die Frage stellen: Welche Funktion(en) erfüllen diese Gleichung?

Natürlich mündet das wie bei Differentialgleichungen sofort in Existenz- und Eindeutigkeitsfragen. Vorausgesetzt, daß Du Logarithmusfunktionen schon kennst, kannst Du bei L(ab)=L(a)+L(b) zu dem Ergebnis kommen: Es gibt Lösungen und zwar sind es alle Logarithmusfunktionen (zu beliebiger Basis).

Du kannst die Gleichung aber auch als Definitionsgleichung lesen: Wir definieren durch die Gleichung eine Menge von Funktionen. Du kannst dann zeigen, daß für die gesamte Schar L(1)=0 gilt und daß durch die Zusatzbedingung L(x)<=(x-1)/k genau eine Funktion aus der Schar qualifiziert wird. Du definierst jetzt neue Funktionen, indem Du die Lösung zum Scharparameter k als Logarithmus zur Basis e hoch k bezeichnest.


Analog geht es für die trigonometrischen Additionstheoreme. Wenn Du sin und cos schon definiert hast, kannst Du Existenz und Eindeutigkeitsuntersuchungen anstellen und nach allen Lösungen suchen.

Aber Du kannst die beiden Gleichungen auch zur Definition der trigonometrischen Funktionen nutzen, z. B. indem Du zeigst, daß die Matrizen
[;\begin{pmatrix} f(a) & -g(a) \\ g(a) & f(a) \end{pmatrix};]
eine Gruppe bilden und darin Drehmatrizen erkennst. In der Mannigfaltigkeit der Lösungen kannst Du dann wieder einen Scharparameter einführen, indem Du für eine bestimmte Lösung f(a)=1 setzt und die dadurch bestimmte Lösung als f(x)=cos(x-a) und g(x)=sin(x-a) bezeichnest.


Ergo: Es ist wie üblich bei einer Gleichung. Sie kann Bestimmungsgleichung sein mit der Frage, welche Lösungen sie hat. Oder sie kann Definitionsgleichung sein. x²=-1 hat die Lösungen x=±i (wenn die imaginäre Einheit schon definiert ist). Oder sie definiert diese erst: "Sei i der Hauptwert der Wurzel aus minus eins."

Gruß, mike
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