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Grenzwert von ln(1+a_n)
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smoother
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Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 506
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BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 00:01:20    Titel: Grenzwert von ln(1+a_n)

Hallo!

Im Rahmen der Klausurvorbeitung habe ich alte Klausuren gerechnet, leider ohne Lösungsvorschläge. Bei einer Aufgabe bin ich am grübeln:
Gegeben sei die Folge:

[;a_1=1;] und [;a_{n+1} = \ln(1+a_n);]

Konvergenz habe ich gezeigt (Strenge Monotonie und Positivität von [;a_n;]), doch wie berechne ich den Grenzwert? Offensichtlich gilt ja

[;\lim_{n\to\infty} a_n = 0;]

Danke für Denkanstöße!
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 01:58:48    Titel:

Ich denke gerade vielleicht zu kompliziert, aber darfst du die Stetigkeit von ln und die Reihendarstellung von exp benützen?
smoother
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Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 506
Wohnort: Hannover

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 02:16:16    Titel:

Also ich habe jabe wirklich schon vieles probiert, auch etwas hiermit anzufangen:

[; \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k!};] für [;abs(x)<1;]

Was war deine Idee mit der Stetigkeit?

Ich habe auch schon versucht, Abschätzungen zu finden, die "über" einem Folgenglied liegen und trotzdem auch gegen Null konvergieren. Das Problem ist immer, dass ich bei durch die rekursive Definition von [;a_n;] beim Induktionsbeweis immer in Teufelsküche komme.


Hat jmd eine Idee?
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 13:23:37    Titel:

Da die Folge konvergiert, ist:

[; a := \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} ln(1+a_n) ;]

Mit der Stetigkeig kommst du zu a = ln(1+a) und das kannst du umformen und argumentieren, dass a=0 sein muss.
smoother
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Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 506
Wohnort: Hannover

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 14:21:30    Titel:

Ja, das leuchtet mir ein, Danke Glumb!
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