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Affine Abbildungen: Bildpunkte/-geraden konstruieren.
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Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2010 - 17:37:08    Titel: Affine Abbildungen: Bildpunkte/-geraden konstruieren.

Hallo,

folgende Aufgabe bereitet mir wieder einmal Probleme:

Bei einer affinen Abbildung wird jeder Punkt der x1-Achse auf sich abgebildet und P(2|3) auf P'(4|7). Konstruiere...

a) das Bild ger Geraden durch A(8|0) und P.

Das ist ja noch einfach, wenn ich das richtig verstanden habe. A liegt ja auf der x1-Achse, und sie ist eine Fixpunktgerade, demnach ist A = A'. P' ist schon in der Aufgabenstellung gegeben, also ziehe ich einfach eine Gerade durch A und P'. Das ist die Bildgerade, oder?

b) das Bild der Geraden durch P und P'.
c) den Bildpunkt Q' von Q(4|2)
d) die Bildpunkte von R(0|4) und S(6|-2)

Bei den restlichen Teilaufgaben habe ich leider keine Ahnung, nicht einmal einen Ansatz. Gedankenanstöße wären nett! Leider ist dieses Thema ja relativ selten und im Internet findet man kaum Quellen, vor allem, was die zeichnerische Konstruktion betrifft.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2010 - 18:46:05    Titel:

.
Zitat:
kaum Quellen, vor allem, was die zeichnerische Konstruktion betrifft. Sad

b) das Bild der Geraden durch P und P'.

vieleicht hilft es dir weiter, wenn du weisst, dass bei dieser Achsenaffinität
durch das zugeordnete Punktepaar P,P' die Affinitätsrichtung festgelegt ist.

dh die Gerade PP' ist eine "Fixgerade"
alle Punkte dieser Geraden gehen bei der Abbildung wieder auf Punkte dieser Geraden,
ändern aber alle intern auf der Geraden ihren Ort - nur ihr Schnittpunkt mit der Achse bleibt fest.

Die Verbindung von Punkt zu Bildpunkt ist parallel zur Aff.-Richtung, also
PP' und QQ' und RR' sind alle zueinader parallel

kannst du nun die restlichen gesuchten Punkte konstruieren?

.
Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2010 - 14:03:50    Titel:

Vielen Dank für deine Antwort, das bringt mich schon weiter!

Ich hätte vorher bei Wikipedia nachschauen sollen, denn hier steht auch klar, dass Geraden durch Punkt und Bildpunkt Fixgeraden sind.

Ich habe das Parallelen QQ' usw. konstruiert, aber wie und warum erhalte ich den Bildpunkt.

Q liegt überraschend auf der Geraden durch P und A, und da die Parallele QQ' zu PP' die Bildgerade durch P'A' schneidet, kommt eigentlich nur dieser Schnittpunkt als Q' in Frage. Meine Idee erscheint mir ehrlich gesagt etwas zu simpel...

R liegt auch auf der oben genannten Gerade, also könnte hier genau dasselbe wie bei Q zutreffen.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2010 - 17:27:35    Titel:

.
Zitat:
nur dieser Schnittpunkt als Q' in Frage.
Very Happy ja
Zitat:
Meine Idee erscheint mir ehrlich gesagt etwas zu simpel...

nix Simpel Smile , die Abbildung ist doch "geradentreu" , dh das Bild einer Geraden zB PQ
ist die Gerade P'Q' (mit Fixpunkt A auf der Achse)..
usw..

bleibt noch das Bild von S .. wie gehst du da vor?
.
Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2010 - 19:32:46    Titel:

Das ist ja mal eine gute Nachricht, dass ich wenigstens diese Bildpunkte richtig "kombiniert" habe! Smile

Tja, S liegt ja leider nicht mehr auf g, also komme ich mit dem Schnittpunkt in g' nicht mehr weiter, wenn ich eine Parallele ziehe. Aber SS' muss ja auch parallel zu PP' sein.

In unserem Buch steht der Satz, dass geometrische Abb. umkehrbar sind, also dass zum jedem Bildpunkt einen Punkt als Urbild gibt. Was hat es genau auf sich mit dem Urbild? Vielleicht denke ich in die völlig falsche Richtung.

Vielleicht passiert ja irgendwas, wenn ich g und g' an der x1-Achse spiegel, ich glaube, diesmal phantasiere ich zu viel. Shocked
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2010 - 20:10:42    Titel:

.
Zitat:
ich glaube, diesmal phantasiere ich zu viel.
Very Happy
also, mit Glauben kommst du nicht in den affinen Himmel

mit etwas Phantasie schon eher:

verbinde doch S mit P
und schon hast du eine Gerade s=SP
deren Bild muss durch P' gehen
und da liegt ja dann auch noch ein Fixpunkt auf s herum - oder?
usw..

alles klar?
.
Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2010 - 21:16:23    Titel:

Okay, jetzt sollte es gehen.

Die Gerade SP schneidet ja die x1-Achse und aus der Aufgabenstellung weiß ich, dass alle Punkte auf dieser Achse auf sich selbst abgebildet werden. Die Bildgerade der Gerade durch S und P geht also durch diesen Achsenschnittpunkt X und P'.
SS' ist parallel zu PP', wie zuvor schon erwähnt. XP', also die Bildgerade, schneidet SS', der Schnittpunkt dort beschreibt S'.
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