Ungleichung vll. mit Grenzwert

Körnel · Newbie Anmeldungsdatum: 24.01.2010 Beiträge: 4

Hey,
ich bin neu hier und hab ein Problem das ich für mein Studium lösen muss. Ich bin an einem Punkt angelangt, an dem ich nicht weiter weiß. Ich wäre sehr erfreut über einen Tipp.

Hoffe ihr könnt die Ungleichung ordentlich sehen, da es bei mir noch nicht mit LaTeX funktioniert hat:

[;\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}^{n-mal}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}_{(n-1)-mal}}>\frac{1}{4};]

diese soll ich zeigen/beweisen.

Für n=1 ist mir das noch klar. nach einsetzen und umstellen hab ich das erhalten:

[;2<\frac{9}{4};]

Dann habe ich ein paar Wege ausprobiert und mir jetzt gedacht bzw. bin darauf gekommen, das ich zeigen muss, dass sich die Wurzel mit steigendem n der 2 annähert...

kann das sein? bzw. habt ihr vielleicht einen Lösungsansatz?

Schönen Dank schon mal und schöne Grüße

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 24 Jan 2010 - 23:36:15 Titel:

Mach mal Semikola in die eckigen Klammern, damit man das LaTeX mit Greasemonkey sehen kann.

Gruß, mike

Körnel · Newbie Anmeldungsdatum: 24.01.2010 Beiträge: 4

Danke für den Tipp!

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 24 Jan 2010 - 23:50:36 Titel:

Ohne es jetzt näher untersucht zu haben, zwei Ideen:

a) Vollständige Induktion
b) Geometrisch (Diese Wurzelausdrücke treten doch bei der Annäherung des Kreisumfanges durch regelmäßige Polygone mit ständiger Verdoppelung der Eckenzahl auf.)

Gruß, mike

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 25 Jan 2010 - 00:07:42 Titel:

Ne, das ist viel einfacher.

Zeige zuerst, daß die Wurzelausdrücke immer kleiner als 2 sind. Das geht mit vollständiger Induktion.

Ersetze dann den (n-1)-mal-Wurzelausdruck im Nenner durch 2-k. Dann ist k positiv und der Nenner hat insgesamt den Wert k.
Der n-mal-Wurzelausdruck im Zähler ist dann √(2+(2-k))=√(4-k) und der gesamte Zähler 2-√(4-k).

Damit hast Du eine Ungleichung, die sich leicht (nein: geradezu trivial) für alle k zeigen läßt.

Gruß, mike

Körnel · Newbie Anmeldungsdatum: 24.01.2010 Beiträge: 4

hey,
danke für deine antworten!

bastel grad noch an der induktion rum. die krieg ich noch nicht so ganz hin, weil ich das ja nicht so einfach wie sonst für n+1 zeigen kann...

aber der rest ist schon mal gut und verständlich.
vielen dank dafür.

gruß

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 26 Jan 2010 - 19:43:54 Titel:

Die Induktion ist ganz einfach. Du mußt nur zeigen, daß √(2+x)<2 ist, wenn es x ist. Und Du mußt einen Induktionsanfang setzen.
Gruß, mike

Körnel · Newbie Anmeldungsdatum: 24.01.2010 Beiträge: 4

Meinst du ich soll alles was hinter der ersten 2 kommt als x bezeichnen?
Das haut ja irgendwie nicht hin und ansonsten hab ich ja keine Variable.
Oder ich versteh deine Idee noch nicht ganz.

Aber danke, muss vielleicht jetzt auch erst nochmal drüber nachdenken.

Gruß

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 26 Jan 2010 - 20:03:58 Titel:

Ja. Alles was bei der n-fach-Wurzel hinter der ersten zwei steht, ist gerade die (n-1)-fach-Wurzel.

Was du zeigen mußt, ist doch lediglich: Wenn die vorhergehende Wurzel kleiner als 2 ist, dann ist es auch die nächste. Dazu nennst Du die (n-1)-fach-Wurzel x, nimmst an, daß sie kleiner als zwei ist, und zeigst, daß der nächste Wurzelausdruck es dann auch sein muß.

Mehr Geheimnis beinhaltet die Induktion nicht: Wenn der Nachfolger stets dieselbe Eigenschaft wie der Vorgänger hat und es einen ersten gibt, bei dem die Eigenschaft vorliegt, dann haben sie alle weiteren.

Gruß, mike