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Darstellungsmatrizen oder nicht?
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Laurilein
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Anmeldungsdatum: 09.11.2009
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2010 - 23:48:48    Titel: Darstellungsmatrizen oder nicht?

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Im folgenden seien e1:=(1,0,0), e2:=(0,1,0), e3:=(0,0,1), v1:=(1,2,1), v2:=(2,3,1) und v3:=(3,4,0)
Es seien f, g : R³ → R³ lineare Abbildungen mit f(ei) = vi bzw. g(vi) = ei für i ∈ {1, 2, 3}.
Geben Sie zwei Matrizen A,B an, so dass für alle x ∈ R³ gilt: f(x) = Ax und g(x) = Bx.
Berechnen Sie das Produkt AB.

Im ersten Fall sind die Bilder der Basisvektoren ja schon gegeben, deshalb würde ich die Matrix A=(1 2 1, 2 3 1, 3 4 0) bestimmen.
Für den zweiten Fall ist meine bestimmte Matrix B=(1 0 0, 0 1 0, 0 0 1).
Das ist ja jetzt jeweils die Darstellungsmatrix (denk ich zumindest), aber irgendwie glaub ich, dass das nicht die Lösung ist weil A bzw. B wohl frei gewählt werden sollen (also nicht die Darstellungsmatrizen sein sollen).
Kann mir da irgendjemand weiter helfen?

Liebe Grüße,
Laura
ssjsonic
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Anmeldungsdatum: 18.01.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 00:26:16    Titel:

Hallo,
also A müsste stimmen, aber B nicht. Mach dir nochmal bewusst, was lineare Gleichungssysteme sind.
Und dann stelle mal auf: g(v1)=e1=B*v1, g(v2)=e2=B*v2, g(v3)=e3=B*v3.
Danach musst du die Gleichungssysteme lediglich umordnen und dann ausrechnen.
Laurilein
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Anmeldungsdatum: 09.11.2009
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 17:13:11    Titel:

Hallo, =)
danke erstmal für deine Hilfe. Ich hab das auch so aufgestellt, wie du gesagt hast, hab dann aber dort nicht gleich weiter gemacht. Oder ich hab mir halt gedacht, dass ich dann wie folgt weiter mache. Und zwar hab ich folgendes Gleichungssystem (für g) aufgestellt:
(b1+2b2+3b3, 2b1+3b2+1b3, 1b1+1b2)=(1,0,0)
Lösungen: (1/2,-1/2,1/2)
Das hab ich dann noch jeweils mit den Lösungen (0,1,0) und (0,0,1) gemacht und bin auf folgende Matrix gekommen:
B=(1/2 -1/2 1/2,-3/2 3/2 1/2, 7/2 -5/2 1/2).
Stimmt die Matrix jetzt so, oder hab ich doch den falschen Ansatz gewählt?

Liebe Grüße,
Laura
ssjsonic
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Anmeldungsdatum: 18.01.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 19:12:38    Titel:

Hmm ich erkenn jetzt nicht genau, was du gemacht hast, aber vll. solltest du etwas genauer mit den Indizes umgehen. Die Matrix besteht ja aus b_11, b_21, b_31, b_12, ... usw.

Daher muss dein Gleichungssystem für die erste Zeile in B in etwa so aussehen:

x1*b_11 + x2*b_12 + x3*b_13 = y1
x4*b_11 + x5*b_12 + x6*b_13 = y2
x7*b_11 + x8*b_12 + x9*b_13 = y3

x1,..,x9 sind dabei bestimmte Elemente aus der Basis v1,...,v3 gegeben (findest du selbst heraus welche genau Smile und y1,...,y3 sind bestimmte Elemente aus e1,..,e3 (also nicht die Vektoren selbst!).
Ich hoffe ich hab dich jetzt nicht zu sehr verwirrt, aber wichtig ist, dass du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten hast, wie oben dargestellt.
Laurilein
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Anmeldungsdatum: 09.11.2009
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 20:25:34    Titel:

1*b_11 + 2*b_12 + 1*b_13 = y1
2*b_11 + 3*b_12 + 1*b_13 = y2
3*b_11 + 4*b_12 + 0*b_13 = y3

Meine Überlegung dahinter: die ersten Werte jedes Vektors beziehen sich auf den ersten Wert der Matrix!
das müsste ich aber jetzt 3-mal machen, würde ich sagen (um b21, b31,... zu erhalten). Damit ich eine 3x3-Matrix erhalte. Die Werte für y müssen sich dabei immer ändern. Im Fall hier würde ich eigentlich y1=1, y2=0 und y3=0 setzen, aber du sagst ja es soll nicht der Vektor sein!

Danke für deine Hilfe!!!
Liebe Grüße,
Laura
ssjsonic
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Anmeldungsdatum: 18.01.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2010 - 00:05:25    Titel:

Laurilein hat folgendes geschrieben:
1*b_11 + 2*b_12 + 1*b_13 = y1
2*b_11 + 3*b_12 + 1*b_13 = y2
3*b_11 + 4*b_12 + 0*b_13 = y3

Meine Überlegung dahinter: die ersten Werte jedes Vektors beziehen sich auf den ersten Wert der Matrix!
das müsste ich aber jetzt 3-mal machen, würde ich sagen (um b21, b31,... zu erhalten). Damit ich eine 3x3-Matrix erhalte. Die Werte für y müssen sich dabei immer ändern. Im Fall hier würde ich eigentlich y1=1, y2=0 und y3=0 setzen, aber du sagst ja es soll nicht der Vektor sein!

Danke für deine Hilfe!!!
Liebe Grüße,
Laura


Hey,
nein das ist schon alles richtig so Smile Mit Vektor meinte ich, dass du das Gleichungssystem nicht willkürlich mit z.B. e1 gleichsetzen sollst, sondern immer den ersten Wert von e1, e2 und e3 (also nach der Reihenfolge). Und da kommt halt y1=1, x2=0 und y3=0 raus. Das entspricht e1, aber ich weiß jetzt nicht ob das jetzt eher Zufall ist oder Gesetzmäßigkeit ^^ Bin auch erst Ersti xD


Du hattest dich vorhin bei (b1+2b2+3b3, 2b1+3b2+1b3, 1b1+1b2)=(1,0,0) schätze ich mal verschrieben, deswegen wusste ich da nicht genau, was du da gemacht hattest Smile
Laurilein
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Anmeldungsdatum: 09.11.2009
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2010 - 18:46:04    Titel:

Ah okay, cool. Da hab ich das System jetzt verstanden (denk ich zumindest). Danke für deine Hilfe! Da hab ich wenigstens nciht ganz daneben gelegen.
Liebe Grüße,
Laura
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