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Beweis zur Teilbarkeit
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real.messY
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Anmeldungsdatum: 11.11.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 13:23:57    Titel: Beweis zur Teilbarkeit

Moin,

ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe von einem Freund. An einer Stelle hakt es, vieleicht könnte ihr mir helfen!?

Ich möchte zeigen, dass n|(10^(k)-1)/9

Also, folgendes weiß ich:

n|10^(k)-1

9|10^(6)-1

Wobei k der Anzahl der Teilerfremden von n entspricht (z.B: n=10 k=|{1,3,7,9}|=4).

Es folgt:

9n|(10^(k)-1)*(10^(6)-1)

Dies möchte ich mithilfe einer Fallunterscheidung zeigen:

Fall 1: ggt(n,10^(6)-1)=1

9n|(10^(6)-1)*(10^(k)-1)
<=>
n|(10^(6)-1)*((10^(k)-1)/9) gilt, da laut Voraussetzung ggt(n,10^(6)-1)=1 ist und n den zweiten Term teilen muss.

Fall 2: ggt(n,10^(6)-1)>1

Also, da 10^(6)-1=999999 und mit n einen gemeinsamen Teiler besitzt, kann man n auch wie folgt darstellen: n=3^(p)*x [p,x aus IN]

Jetzt habe ich diverse Umformungsschritte angewandt, aber komme nie auf einen grünen Zweig. Ich muss zeigen, dass n beide Terme teilen würde und nicht nur 10^(6)-1. Irgendwie hängt es hier. Kann mir jemand eine Anregung geben?
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 19:16:54    Titel:

Zitat:
Ich möchte zeigen, dass n|(10^(k)-1)/9

Das sieht etwas verwirrend aus. Willst du zeigen, dass es zu jedem n eine Zahl k gibt, sodass n|(10^k-1)/9?
Das ist zum Scheitern verurteilt, siehe z.B. n=2.
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 20:03:22    Titel:

k ist fest definiert als phi(n). Dennoch ist die Aussage so wie sie da steht falsch.

Jonsy
real.messY
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Anmeldungsdatum: 11.11.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 20:46:16    Titel:

hatte vergessen zu erwähnen, dass ggt(n,10)=1 ist. aber trotzdem ist meine aussage falsch, weil für n=3 ist k=2 und das geht so nicht.
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