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Beweis zur Exponentialreihe
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis zur Exponentialreihe
 
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LieAlgebra
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Anmeldungsdatum: 27.01.2010
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 20:34:50    Titel: Beweis zur Exponentialreihe

Hallo,

ich verzweifle im Moment an folgendem Problem:

Sei e := (1 + 1/n)^n. Beweise sie, dass sum_{n=0,infinity} 1/n! gegen e konvergiert.

Dazu folgendes:

-----------------------------------------------------------------
Zitat aus Thread: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/156370,15.html
"da exp(x) = ∑_{k=0}^{∞} (1/k!) x^k

also e = exp(1) = ∑_{k=0}^{∞} (1/k!)

nun ist (1 + 1/n)^n = ∑_{k=0}^{n} (n! / (k! (n-k)!)) (1/n)^k 1^(n-k) = ∑_{k=0}^{n} (1/k!) (n * (n-1) * ... * (n-k+1)) / n^k

da für grosse n, also insbesondere n→∞, gilt (n * (n-1) * ... * (n-k+1)) / n^k → 1

bleibt ∑_{k=0}^{∞} (1/k!) was genau e ist."

-----------------------------------------------------------------

Wären das Folgen, würde ich das sofort unterschreiben... ABER es handelt sich doch um Reihen und deshalb ist es doch wohl falsch anzunehmen, dass bloß weil die Folgen a_n und b_n den gleichen Grenzwert haben, die Reihen [sum_{n=0,infty} a_n] und [sum_{n=0,infty} b_n] identisch sind. Schließlich könnte ich b_n definieren als b_0 := a_0 + 100 und b_i := a_i für alle i > 0. Damit wär die ganze Sache futsch, da die Reihen sich nun um 100 voneinder unterscheiden sollten...

Und aus diesem Grunde zweifle ich auch sehr an der Beweisführung, (1+1/n)^n als Binomialsumme zu schreiben und zu argumentieren, dass der nach Ausklammerung von 1/k! verbleibende Faktor für n->oo gegen 1 konvergiert und somit die Reihen identisch sein müssen.

Das Problem für mich besteht einfach darin, dass ich sehr wohl das >= und <= aktzeptiere, aber das heißt für mich nur, dass man nachgewiesen hat, dass die Reihe 1/k! konvergiert und der Wert irgendwo zwischen den gewählten Folgen liegt, aber keinesfalls hat man damit nachgewiesen, dass sie tatsächlich gegen e konvergiert... Denn dazu müsste man erstmal beweisen, dass die "frisierten" Reihen zur Eingrenzung des Grenzwertes auch gegen e konvergieren, das hat man aber nicht.

Ich habe schon etliche Leute aus dem Analysiskurs gefragt und wusste eine einleuchtende Antwort, obwohl sie volle Punktzahl bekommen haben. Zur Info, ich studiere noch Informatik, wechsle aber nächstes Semester zu Mathe und arbeite jetzt sozusagen parallel den Stoff für Mathe durch.

Leider muss ich das schreiben, obwohl es wahrscheinlich sowieso keinen Sinn hat, denn wenn ich mir hier die Antworten so durchlesen komme ich zu dem Schluss:
BITTE JEMAND ANTWORTEN, DER DIE ANTWORT SICHER WEIß UND NICHT JEDER DER GERN SEINEN SENF DAZUGEBEN MÖCHTE.

Vielen Dank für eure Hilfe!!
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 20:55:11    Titel:

Hallo!
An diesem "Beweis" ist tatsaechlich etwas faul, aber nicht das, was du als erstes bemaengelst.
Problematisch ist tatsaechlich der Fakt, dass "n" innerhalb der Summe steht und du dann den Grenzwert betrachtest.

In einem dieser zahlreichen Threads zu diesem Thema hat Cyrix einen vollstaendigen Beweis gepostet, vielleicht findest du da ja was in der suche - das ist eigentlich der "klassische" Beweis, im Wesentlichen so funktioniert, dass du "s>=t" und "t>=s" zeigst und die Gleichheit folgerst.

Zitat:
Wären das Folgen, würde ich das sofort unterschreiben... ABER es handelt sich doch um Reihen

Reihen und Folgen sind eigentlich das gleiche. Eine Reihe ist eine Folge (von Partialsummen), eine Folge kannst du als Reihe betrachten (als eine Art Teleskopreihe).

Zitat:
und deshalb ist es doch wohl falsch anzunehmen, dass bloß weil die Folgen a_n und b_n den gleichen Grenzwert haben, die Reihen [sum_{n=0,infty} a_n] und [sum_{n=0,infty} b_n] identisch sind.


Ich seh nicht so ganz recht, an welcher Stelle genau du diese Kritik ansetzt.

Jonsy
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 20:58:39    Titel:

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/212763,0.html
LieAlgebra
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Anmeldungsdatum: 27.01.2010
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 21:24:00    Titel:

Danke!

Jonsy hat folgendes geschrieben:

In einem dieser zahlreichen Threads zu diesem Thema hat Cyrix einen vollstaendigen Beweis gepostet,


Ok ich werd mal danach suchen...

Jonsy hat folgendes geschrieben:

Ich seh nicht so ganz recht, an welcher Stelle genau du diese Kritik ansetzt.


Naja das hatte ich ja schon umschrieben:
"dass bloß weil die Folgen a_n und b_n den gleichen Grenzwert haben, die Reihen [sum_{n=0,infty} a_n] und [sum_{n=0,infty} b_n] identisch sind. Schließlich könnte ich b_n definieren als b_0 := a_0 + 100 und b_i := a_i für alle i > 0. Damit wär die ganze Sache futsch, da die Reihen sich nun um 100 voneinder unterscheiden sollten... "

Damit meine ich, dass sich die Grenzwerte der Reihen verändern, wenn sich ihre Folgenglieder verändern, wohingegen klassische Folgen davon unbeeindruckt bleiben. Zum Beispiel sollte (sum 1/k!) != (sum 2/k!) sein, obwohl die Folgen gegen den gleichen Wert konvergieren.

Ansetzten tue ich die Kritik hier:
Zitat:
da für grosse n, also insbesondere n→∞, gilt (n * (n-1) * ... * (n-k+1)) / n^k → 1

bleibt ∑_{k=0}^{∞} (1/k!) was genau e ist.


Denn hier passiert genau das was ich meine. Es wird geschlussfolgert, dass der Grenzwert der Reihen identisch ist, weil der Faktor (einmal 1 und einmal der Rest vom binom) für n->oo gleich werden. Wie gesagt für Folgen ist mir das klar aber bei ner Reihe macht es doch schon einen unterschied, ob die Summanden erst im unendlichen gleich werden und anfänglich vielleicht um eine million auseinander liegen, denn diese müssen ja im Grenzwert berücksichtigt werden, ganz im Gegensatz zu Grenzwertberechnung von Folgen, wo nur das unendliche zählt.
LieAlgebra
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Anmeldungsdatum: 27.01.2010
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 21:50:46    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/212763,0.html


Danke Smile...

1) Du schreibst ja was von Tex in deiner Signatur, nur wie stelle ich das hier an? Der Beweis von Cyrix ist sehr schwer zu lesen mit dem Tex Source code... Sorry geht ja nur mit Firefox Wink, hab ich übersehen...

2) Tritt dort genau das Problem auf was ich meinte. Ich habe nichts einzuwenden gegen das ">=" Zeichen, aber in dem moment wo man das verwendet, hat man doch schon den Salat, denn dann kann man zwar nachweisen, dass die Reihe 1/k! "<=" oder eben ">=" ist, aber das heißt doch noch lange nicht, dass sie gegen e konvergiert, denn in dem Moment wo ich von der ursprünglichen Reihe durch ein ">=" oder "<=" abweiche, kann ich doch keine Aussage mehr über den Grenzwert selbst machen sondern nur noch über die Konvergenz. Wenn ich sage (sum 1/n) >= (sum 1/n^2) >= (sum 1/n^3) ist der Informationsgehalt über 1/n^2 gleich null. Ich weiß zwar dass es dazwischen liegt, hier divergiert 1/n sogar noch, was aber für das Prinzip keine rolle spielt. Vor allem da gilt lim 1/n = lim 1/n^2 = lim 1/n^3. und dennoch sind die Reihendarstellung völlig unterschiedlich. Darin liegt ja grade mein Problem und ich bin der Meinung, dass ich entweder etwas grundlegendes übersehen habe, oder der Beweis so einfach nicht funktioniert...
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
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BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 22:06:40    Titel:

a sei eine Darstellung, b die andere. In zwei getrennten Ausführungen wurde gezeigt dass a <= b und auch b <= a. Daraus folgt, dass a = b sein muss.
LieAlgebra
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Anmeldungsdatum: 27.01.2010
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 22:27:01    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:
a sei eine Darstellung, b die andere. In zwei getrennten Ausführungen wurde gezeigt dass a <= b und auch b <= a. Daraus folgt, dass a = b sein muss.


Danke Wink... Das ist mir völlig klar und ich hab jetzt seinen Beweis auch mal rendern lassen! Das war recht aufschlussreich, denn der Beweis stimmt soweit.

Der allererste Schritt ist natürlich in gewisser weise die Lösung aller Probleme, indem man "n" durch "n^3" substituiert. Das hat was, werd darüber noch etwas grübeln.

Aber nur mal so, wieso darf man das machen (substituieren, ohne die Limesvariable entsprechend durch n^(1/3) zu ersetzten)? Klar erscheint es logisch, aber das ist ja kein Beweis. Gibt es dafür ein Theorem?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 22:30:58    Titel:

Das dürfte ein recht kürzer Beweis sein, der mittels Grenzwertdefinition zu führen ist Wink
LieAlgebra
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Anmeldungsdatum: 27.01.2010
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 22:39:35    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:
Das dürfte ein recht kürzer Beweis sein, der mittels Grenzwertdefinition zu führen ist Wink


Ja schon aber im mein halt auch das Gleichungssystem (1+1/n)^n=(1+1/n^3)^(n^3) hat nur für n=1 eine Lösung, insofern ist diese Substitution schon ein nicht trivialer Eingriff und dass die Grenzwerte davon unbeeindruckt bleiben, weiß nicht, erscheint logisch aber so richtig schlüssig ist mir das noch nicht. Aber gut das werde ich schon noch rausfinden.

Vielen Dank für eure Hilfe, das hat mich wirklich weitergebracht!! Meine Zweifel waren also berechtigt und wurden durch die Substitution gelöst, wieder was gelernt...
LieAlgebra
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Anmeldungsdatum: 27.01.2010
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2010 - 22:47:59    Titel:

Achso klar, naja das lässt sich umformen zu ((1+1/n^3)^n)^3 <= ((1+1/n)^n)^3 = 0^3, da (1+1/n)^n -> 0...

Hmm und das mit der Substitution ist auch dann legitim, wenn man den Ausdruck nicht so schön beweisen kann, sondern sich allein auf die Substitution verlassen muss?!
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