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Schaltung: Gyrator Kondensator Gyrator Widerstand
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Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Schaltung: Gyrator Kondensator Gyrator Widerstand
 
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cotangens
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Anmeldungsdatum: 12.03.2009
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BeitragVerfasst am: 31 Jan 2010 - 13:15:10    Titel: Schaltung: Gyrator Kondensator Gyrator Widerstand

Folgende Schaltung war zu berechnen:




Ersatzschaltung zwischen den Klemmen 1 und 4:


Kondensator in längsrichtung mit:
yb = 1 / (j*w+c) * 1/ üg^2

üg Übertragungsfaktor Gyrator.

Kann das Stimmen?
Was passiert, wenn ein Kondensator an den EINGANG eines Gyrators geschaltet wird?
(An den Ausgang ist klar -> es wird eine Induktivität daraus)
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 31 Jan 2010 - 19:22:29    Titel: Gyrator-Vierpol, Kettenmatrizen; nur 1. Teil.

Mit rechts oben nach rechts zeigenden und gezählten [; \underl{I}_2 ;] gelten für den Gyrator die Ketten-Gleichungen [; \begin{bmatrix}\underl{U}_1\\\underl{I}_1\end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix}0&{{\ddot{u}}_G}\\ \frac{1}{{{\ddot{u}}_G}}&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underl{U}_2\\\underl{I}_2\end{bmatrix} ;]
(es könnte auch die andere Konvention mit den rechts oben nach links zeigenden [; \underl{I}_2 ;] gewählt werden [1]).

Zur ersten Teil-Aufgabe (Ersatz zwischen den Klemmenpaaren 1 und 4).
Das Matrix-Produkt der Ketten-Matrizen der ersten drei Vierpole [; \begin{bmatrix} 0 & {{\ddot{u}}_G} \\ \frac{1}{{{\ddot{u}}_G}} &0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \mathrm{j}\cdot\omega \cdot C &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & {{\ddot{u}}_G} \\ \frac{1}{{{\ddot{u}}_G}} &0 \end{bmatrix} ;] ergibt für den Ersatz-Vierpol die Kettenmatrix [; \begin{bmatrix} 1 & \mathrm{j}\cdot\omega\cdot C \cdot {{\ddot{u}}_G}^2 \\ 0 &1 \end{bmatrix} ;].
Koeffizienten-Vergleich mit der Ketten-Matrix [; \begin{bmatrix} 1 & \mathrm{j}\cdot\omega\cdot L_e \\ 0 &1 \end{bmatrix} ;] einer Ersatz-Längs-Induktivität [; L_e ;] ergibt [; L_e = C \cdot {{\ddot{u}}_G}^2 ;].
(Die Ketten-Matrix einer Längs-Kapazität [; C_e ;] wäre [; \begin{bmatrix}1 & \frac{1}{\mathrm{j}\cdot\omega\cdot C_e} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ;]. Beim Koeffizientenvergleich erschiene eine negative Ersatz-Kapazität [; C_e \ = \ -\frac{1}{\omega^2 \cdot C \cdot {{\ddot{u}}_G}^2;].)

EDIT [1] 2010-02-03 22:51: Falls die Strompfeile I2 (oben rechts) nach links zeigen, sind gewisse Anpassungen bei Vorzeichen vorzunehmen.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 03 Feb 2010 - 22:58:37, insgesamt 4-mal bearbeitet
cotangens
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Anmeldungsdatum: 12.03.2009
Beiträge: 209

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2010 - 14:21:01    Titel:

Verdammt.

Ich dachte, die Z-Matrix des Gyrators wäre für alle gleich.
Meine war angegeben:

Zgyrator = [0, -üg ; üg,0]
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
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BeitragVerfasst am: 03 Feb 2010 - 17:26:50    Titel: Frage

Das würde bedeuten: U1 = -üG·I2 und U2 = üG·I1.
In welche Richtung zeigen die Strompfeile I2 oben rechts? Nach links oder nach rechts? "Meine" I2 zeigen nach rechts (vorteilhaft für verkettete Vierpole).

Hast Du eine Musterlösung?
cotangens
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Anmeldungsdatum: 12.03.2009
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BeitragVerfasst am: 03 Feb 2010 - 21:20:47    Titel:

Nur meine Ausarbeitung:

Bilder sind weiter unten.


Zuletzt bearbeitet von cotangens am 04 Feb 2010 - 08:40:47, insgesamt einmal bearbeitet
xeraniad
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BeitragVerfasst am: 03 Feb 2010 - 22:06:57    Titel: Würde es gerne lesen, aber...

Die Antwort auf die Frage bezüglich Definition der Richtung der I2 bei den Vierpolen wäre entscheidend.
EDIT: Schrott entfernt.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 04 Feb 2010 - 10:53:27, insgesamt einmal bearbeitet
cotangens
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Anmeldungsdatum: 12.03.2009
Beiträge: 209

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2010 - 06:52:29    Titel:

Ich habs so gelernt, dass beide in den 4P hineinzeigen.
I1 nach rechts, I2 nach links


€dit:
Hier das PDF in Bildern:


xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2010 - 10:03:10    Titel: Danke

Jetzt sind alle Widersprüche beseitigt.
Wenn die I2 (oben rechts) nach links zeigen, müssen bei Kettenschaltung von n Vierpolen für die ersten n-1 Ketten-Matrizen die Vorzeichen in den rechten Spalten gewechselt werden.


Als Vorbereitung folgt zunächst eine kleine Umformung. (Hier ist die Richtung von I2 noch nicht relevant.)
Es sind die Impedanzgleichungen [; \begin{bmatrix}\underl{U}_1 \\ \underl{U}_2 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix}z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underl{I}_1\\ \underl{I}_2 \end{bmatrix} ;] gegeben, aber es wird die Kettenform [; \begin{bmatrix}\underl{U}_1 \\ \underl{I}_1 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underl{U}_2\\ \underl{I}_2 \end{bmatrix} ;] benötigt.
Mit dem gemeinsamen [; \underl{U}_1 ;] links oben haben die gegebenen Gleichungen bereits eine gewisse Ähnlichkeit mit der angestrebten Form. Die Gleichung für das links unten "unerwünschte" [; \underl{U}_2 ;] wird nach der "erwünschten" Grösse aufgelöst [; \underl{I}_1 \ = \ \overbrace{\frac{1}{z_{21}}}^{a_{21}} \cdot \underl{U}_2 \ \overbrace{- \frac{z_{22}}{z_{21}}}^{a_{22}} \cdot \underl{I}_2 ;]. Wird dieses [; \underl{I}_1 ;] in die erste Gleichung eingesetzt, folgt [; \underl{U}_1 \ = \ \overbrace{\frac{z_{11}}{z_{21}}}^{a_{11}} \cdot \underl{U}_2 \ \overbrace{- \frac{z_{11}\cdot z_{22} - z_{12}\cdot z_{21}}{z_{21}}}^{a_{12}} \cdot \underl{I}_2 ;].

Zitat:
Zgyrator = [0, -üg ; üg,0]

Als Anwendung der zuvor hergeleiteten Ketten-Matrix[; A \ = \ \begin{bmatrix}\frac{z_{11}}{z_{21}} & -\frac{z_{11}\cdot z_{22} - z_{12}\cdot z_{21}}{z_{21}} \\ \frac{1}{z_{21}} & - \frac{z_{22}}{z_{21}} \end{bmatrix} ;] können die gegebenen Impedanz-Parameter [; Z_G \ = \ \begin{bmatrix}0 & -\ddot{u}_G\\ \ddot{u}_G & 0 \end{bmatrix} ;] des Gyrator-Vierpols in die Ketten-Parameter [; A_G \ = \begin{bmatrix}0 & -\ddot{u}_G\\ \frac{1}{\ddot{u}_G} & 0\end{bmatrix} ;] transformiert werden.

Weil jetzt die [; \underl{I}_2 ;] konsequent nach links zeigen sollen, besitzt der Vierpol für eine Quer-Kapazität [; C ;] diesmal die Ketten-Matrix [; A_C \ = \ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ \mathrm{j}\cdot\omega \cdot C & -1 \end{bmatrix} ;] und der für eine Längs-Induktivität [; L_e ;] die Ketten-Matrix [; A_{L_e} \ = \ \begin{bmatrix}1&-\mathrm{j}\cdot\omega\cdot L_e\\0& -1\end{bmatrix} ;] (das "e" soll für Ersatz stehen).

Wer z. B. die in dem historischen Werk ISBN 3817110359 (p. 397) erwähnten Vorzeichen-Anpassungen appliziert, erhält [; A_{GCG} \ = \ A_G \cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} \cdot A_C \cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} \cdot A_G \ = \ \begin{bmatrix}1&-\mathrm{j}\cdot\omega\cdot\overbrace{{\ddot{u}_G}^2 \cdot C}^{L_e}\\0&-1\end{bmatrix} ;].
Ein Koeffizienten-Vergleich mit [; A_{L_e} ;] zeigt erneut, dass insgesamt eine Längs-Induktivität [; L_e \ = \ {\ddot{u}_G}^2 \cdot C ;] konstruiert wurde.

EDIT:
Zitat:
Ich dachte, die Z-Matrix des Gyrators wäre für alle gleich.

cotangens bringt es hier exakt auf den Punkt. Zusammen mit 4-Pol-Matrizen müssen die Richtungen der vier Pfeile bekannt sein. Während die Richtungen von [; \underl{U}_1 ;], [; \underl{I}_1 ;] und [; \underl{U}_2 ;] immer gleich sind, muss speziell auf [; \underl{I}_2 ;] geachtet werden. Einige Autoren verwenden z. B. die Schreibweise [; \begin{bmatrix}\underl{U}_1 \\ \underl{I}_1 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underl{U}_2\\ -\underl{I}_2 \end{bmatrix} ;], um deutlich zu machen, dass die [; \underl{I}_2 ;] nach inks zeigen, aber die rechte Spalte der Ketten-Matrix [; A ;] bezüglich der Vorzeichen bereits korrigiert ist.

EDIT: Hier noch einige fehlerfreie (weil generierte) Umrechnungs-Tabellen für die verschiedenen Vierpol-Matrizen ([; Y = Z^{-1};], [; B = A^{-1};] und [; K = H^{-1};]; [; \begin{bmatrix}\underl{U}_1 \\ \underl{I}_2 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\underl{I}_1\\ \underl{U}_2 \end{bmatrix} ;]): Z -> *, Y -> *, A -> * und H ->*.
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