Häufungspunkt und Grenzwert

Photonenkopf · Verfasst am: 31 Jan 2010 - 21:37:03 Titel: Häufungspunkt und Grenzwert

Wo ist denn der Unterschied zwischen Häufungspkt. und Grenzwert, ich hab hier zig abstrakte Definitionen, aber ich bräuchte mal ein handfetes Beispiel, woran man das sofort sieht... wär nett wenn sich da mal jemand zu bereit erklärt, danke Smile

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Ich kann nicht vorraussagen, wann Oma Ingrid die Rüben zieht. Aber wenn ich sie frage, wird sie mir sagen, dass dies kein Zufall ist.
Es gibt für alles einen Grund. Wenn dem nicht so ist, nenne man mir bitte einen Grund.

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 31 Jan 2010 - 21:56:36 Titel:

Einen Häufungspunkt hast Du anschaulich gesprochen, wenn sich in seiner Nähe unendlich viele Glieder einer Folge finden. Einen Grenzwert, wenn Du dort (fast) alle Glieder antriffst.

Eine Folge kann mehrere Häufungspunkte haben, z. B. wenn sie zwischen ihnen bis in alle Ewigkeit hin und her springt, so daß sie unendlich oft in der Nähe von jedem der Häufungspunkte ist.

Wenn es einen Grenzwert gibt, dann ist der auf jeden Fall auch ein Häufungspunkt. Denn dort (sprich: in seiner Nähe) liegen ja auch unendlich viele Folgenglieder. Aber nicht jeder Häufungspunkt ist ein Grenzwert. Auch nicht, wenn es nur einen gibt. Denn die Folge könnte sich ja unendlich oft wieder von ihm entfernen, und diese Werte könnten regellos verteilt sein, ohne daß es einen anderen Häufungspunkt gibt. Darum die Formulierung "fast alle" (=alle bis auf höchstens endlich viele) in der Definition des Grenzwertes.

Gruß, mike
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√∞≠≤≥±≈∫≡¼⅓½⅔¾∧∨¬∈⊂⊄∩∪∂
αβγδεηκλμνπρσφωΓΔΘΛΣ

mathefan · Verfasst am: 31 Jan 2010 - 22:12:33 Titel:

Photonenkopf · Verfasst am: 31 Jan 2010 - 23:18:31 Titel:

1. ehe mich die Lust überfällt
2. man schreibt häufungspunkte häüfig auch wie häufig

Schönen Dank an Mike, deine Kommentare sind immer sehr hilfreich Smile

Schönen Dankk aba auch an matefän
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Ich kann nicht vorraussagen, wann Oma Ingrid die Rüben zieht. Aber wenn ich sie frage, wird sie mir sagen, dass dies kein Zufall ist.
Es gibt für alles einen Grund. Wenn dem nicht so ist, nenne man mir bitte einen Grund.

Sucherin123 · Newbie Anmeldungsdatum: 05.09.2012 Beiträge: 1

Ich habe zufällig diesen Thead gefunden und hätte da noch eine Frage.
Bei (-1)^n gibt es ja aber eigentlich unendlich viele stellen mit -1 und +1. Das sind ja eigentlich alle, so wie ein Grenzwert.
Und nun zu meiner frage: Sind es keine Grenzwerte da Folgen nur konvergent sind also monoton gegen den grenzwert streben UND irgendwann durch den Grenzwert beschränkt ist und dies ja hier nicht der fall ist da sie ja direkt draufliegen auf der -1 und +1.

cyrix42 · Verfasst am: 05 Sep 2012 - 18:43:32 Titel:

Hallo!

Einen Grenzwert kann es nur dann geben, wenn es nur einen Häufungspunkt gibt. Dies liegt daran, dass für jede noch so kleine Umgebung des Grenzwertes alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index darin liegen müssen.

Hat man aber zwei echt verschiedene Häufungspunkte, so heißt das, dass für jede noch so kleine Umgebung jedes der beiden Häufungspunkte immer wieder Folgenglieder liegen. Wählt man die Umgebungen nun so klein, dass sie sich nicht mehr überschneiden, heißt dass, dass auch immer wieder Folgenglieder außerhalb der Umgebung eines jeden der beiden Häufungspunkte liegen, diese also keine Grenzwerte sind.

btw: Konvergente Folgen, welche also einen Grenzwert besitzen, müssen nicht monoton sein. Die Folge (-1)^n/n z.B. ist alternierend, d.h. wechselt ständig das Vorzeichen (ist also in keinem Fall monoton), konvergiert aber gegen 0.

Grüße
Cyrix
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Die Wurzel
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