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Tessa_ß
Full Member
Anmeldungsdatum: 06.11.2008
Beiträge: 168
Wohnort: München
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 Verfasst am: 03 Feb 2010 - 11:57:37 Titel: Tiefenerder berechnen |
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Hi Fachleute!
Wir sollen den Widerstand eines Tiefenerders bestimmen (mit Ableitung der Formel).
Gegeben ist kappa, eine kreisrunde Platte mit Radius r=2m, die waagrecht in h=8m Tiefe vergraben ist.
Sie ist mit einer isolierten Leitung angeschlossen.
Bei einer Kugel in großer Tiefe könnte ich es: R=1/(4 pi kappa r).
Schwieriger ist es schon, wenn sie nur in 8m Tiefe ist, denn dann hat die Begrenzung einen Einfluss. Näherungsweise würde ich die Oberfläche der Platte benutzen. Aber exakt?
Wäre sehr nett, wenn sich einer der Gurus hier das man ansehen könnte.
_________________
Herzliche Grüße, Tessa |
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isi1
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 6233
Wohnort: München
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| Verfasst am: 04 Feb 2010 - 15:46:14 Titel: Re: Tiefenerder berechnen |
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| Tessa_ß hat folgendes geschrieben: | Hi Fachleute!
Wir sollen den Widerstand eines Tiefenerders bestimmen (mit Ableitung der Formel).
Gegeben ist kappa, eine kreisrunde Platte mit Radius r=2m, die waagrecht in h=8m Tiefe vergraben ist.
Sie ist mit einer isolierten Leitung angeschlossen.
Bei einer Kugel in großer Tiefe könnte ich es: R=1/(4 pi kappa r).
Schwieriger ist es schon, wenn sie nur in 8m Tiefe ist, denn dann hat die Begrenzung einen Einfluss. Näherungsweise würde ich die Oberfläche der Platte benutzen. Aber exakt?
Wäre sehr nett, wenn sich einer der Gurus hier das man ansehen könnte. |
Wegen der Äquivalenz zwischen Kapazität und Leitwert, Tessa,
könnte man die Formeln für Kondensatoren verwenden.
Aus Meinke/Gundlach: Kapazität einer dünnen kreisförmigen Scheibe im freien Raum:
[; C_{pF}=35,3\epsilon_r\cdot D_m ;]
[; C = k\cdot 2\pi\epsilon_0\cdot epsilon_r\cdot D ;] mit k=0,635 für die
Analog:
[; G=k\cdot 2\pi \kappa \cdot D_m ;]
Die Formel für die Kugel sieht genau so aus, nur ist der Faktor k = 1
Zur Berechnung Begrenzung wird üblicherweise die Spiegelung an einer Ebene benutzt. Z.B. bei einer geladenen Kugel über einer Ebene wird eine an der Ebene gespiegelte Kugel mit - in deinem Falle - gleicher Ladung verwendet.
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Martin67
Senior Member
Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1387
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| Verfasst am: 04 Feb 2010 - 20:41:23 Titel: |
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Hallo Isi,
wie geht hier die Tiefe, in der die Platte vergraben ist mit ein, oder spielt das bei 8m schon eine untergeordnete Rolle?
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Gruß
Martin |
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isi1
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 6233
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| Verfasst am: 04 Feb 2010 - 22:18:37 Titel: |
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| Martin67 hat folgendes geschrieben: | | wie geht hier die Tiefe, in der die Platte vergraben ist mit ein, oder spielt das bei 8m schon eine untergeordnete Rolle? |
Die 8m gehen sicher ein, Martin, aber Meinkes Formeln gelten nur bei sehr großer Tiefe, wie Du andeutest.
Für Tessas Problem müsste man die Gleichung für die Platte ableiten und dann die Spiegelung berechnen, was nicht leicht ist. Du hast es vor längerer Zeit - ich glaube - für zwei Kugeln abgeleitet. Vielleicht geht es mit einem Ellipsoid, das man entarten lässt?
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Tessa_ß
Full Member
Anmeldungsdatum: 06.11.2008
Beiträge: 168
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| Verfasst am: 05 Feb 2010 - 17:10:42 Titel: |
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Vielen Dank für die Hinweise.
Wo finde ich Martins Berechnung mit den beiden Kugeln, bitte?
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Herzliche Grüße, Tessa |
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isi1
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 6233
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| Verfasst am: 09 Feb 2010 - 14:53:39 Titel: |
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Ich versuchs man mit dem Ellipsoid, Tessa:
[; \texttt{Potential} \varphi \ \texttt{der Kugel, Radius a, Spannung U:} \ \ \varphi=\frac{a}{r} \cdot U ;]
[; \texttt{ und } U=\frac{Q}{4\pi\epsilon\cdot a} ;]
Ziehen wir die Ladung im Mittelpunkt der Kugel auseinander, so dass sie gleichmäßig von einem Brennpunkt (z=-c) der Ellipse bis zum anderen (z=+c) reicht, ergibt sich eine Ladungsdichte [; \lambda=\frac{Q}{2c} ;]
[; 4\pi\varphi=\frac{Q}{2c}\int_{-c}^{+c}{\frac{d\zeta}{\sqrt{x^2+y^2+(z-\zeta)^2}}} ;]
[; 4\pi\varphi=\frac{Q}{2c}\log{\frac{z+c+\sqrt{x^2+y^2+(z+c)^2}}{z-c+\sqrt{x^2+y^2+(z-c)^2}}} ;]
Momentan weiß ich nicht weiter, ich denke darüber nach.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Martin67
Senior Member
Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1387
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| Verfasst am: 09 Feb 2010 - 22:47:38 Titel: |
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Hallo,
ich hab es auch schon mal versucht, mit n Halbkugeln unten und oben, die ich immer kleiner werten lasse und auf der Fläche verteile.
Ich komm damit aber auch nicht richtig weiter. Denke das funktioniert so nicht.
Werde am WE mal meinen Gedanken einstellen.
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Gruß
Martin |
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isi1
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 6233
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| Verfasst am: 17 Feb 2010 - 21:01:41 Titel: |
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Zwischenbericht:
Schnudl hat eine Lösung berechnet, die stimmen könnte:
http://www.physikerboard.de/ptopic,101167.html#101167
| schnudl hat folgendes geschrieben: | Ich habe jetzt etwas raus, was mit meinem Tabellenwerk übereinstimmt:
[; R(D/2) = \frac{\rho}{4 \pi R} \left(\pi - \arctan{\frac{D}{R}} \right);]
D=[; \infty;] (unendlich tief eingegraben):
[; R(\infty) = \frac{\rho}{8 R};]
D=0 (an der Oberfläche)
[; R(\infty) = \frac{\rho}{4 R};]
Für die Quelldichteverteilung einer einzelnen Platte, auf der konstantes Potenzial herrscht, habe ich herausbekommen:
[; \dot \sigma(r) = \frac{I}{2 R \pi } \cdot \frac{1}{\sqrt{R^2-r^2}};]
Das entstehende Potenzial entlang der Mittenachse weicht in der Nähe der Platte stark von der homogenen Stromdichteverteilung ab (siehe Bild)
Ich habe aus der Stromdichteverteilung das Potenzial an der einen Platte im Bezug auf "unendlich" (an der Symmetrieachse) ausgerechnet. Für die Spiegelplatte muss man das um D verschobene Potenzial addieren.
[; V = V_1 + V_2;]
Das Potenzial habe ich über die Greensche Funktion
[; V(r) = \frac{\rho}{4 \pi } \int_V \dd V \frac{\dot \sigma(r')}{|r-r'|};]
bestimmt. Es wird letztlich ein simples Flächenintegral von 0...R.
Ich kann morgen den Rechenweg im Detail posten - ist aber nicht schwierig und man hat nur einfache Integrale. Die Stromdichteverteilung habe ich mit einem Ansatz bestimmt, bei dem für r=R eine Singularität der Ordnung n entsteht (Spitzeneffekt). Dann habe ich das n zu n=1/2 bestimmt. Ist nicht sehr elegant, hat aber funktioniert. Das kostete mich die meiste (Arbeits)Zeit... |
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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isi1
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.08.2006
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| Verfasst am: 22 Feb 2010 - 09:26:52 Titel: |
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Schnudl hat noch einiges gefunden:
| schnudl hat folgendes geschrieben: | Nach drei Tagen des Herumprobierens gebe ich nun mit folgenden Erkenntnissen auf:
Trotz der scheinbaren Trivialität ist das Problem der geladenen Kreisplatte erst 1884 (also gute 20 Jahre nach der Aufstellung der Maxwell'schen Gleichungen) von Thomson(=Lord Kelvin) gelöst worden. Die Mathematik für solche gemischten Randwertaufgaben ist denke ich recht aufwendig und erfordert tiefere Einsicht in die Theorie der dualen Integralgleichungen. Selbst im Jackson, den ich über alles schätze, wird das Problem als sehr komplex dargestellt und bloss auf die Arbeiten von H.Weber verwiesen. 1945 (!!!) war das Plattenproblem scheinbar immer noch ein Thema, wie das Paper von Copson zeigt:
http://journals.cambridge.org/action/displayFulltext?type=1&fid=3082180&jid=PEM&volumeId=8&issueId=01&aid=3082172
Ich glaube man muss als Unterliga-Physiker nicht traurig sein, wenn man auf das nicht selbst gekommen ist...
Der erste Ansatz von Thomson (der zwar korrekt ist, jedoch etwas gekünstelt und unmathematisch wirkt) findet sich gut erklärt hier:
http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/ellipsoid.pdf
Der Ansatz von isi im anderen Forum geht auch in diese Richtung. Sie war denke ich (im Ansatz) nicht weit von der Lösung entfernt...
:thumb:
Ob es eine Löung für die parallelen Platten gibt, habe ich nicht herausgefunden.
Für das Problem des Kondensators aus zwei kreisförmigen Platten gibt es offenbar eine Lösung, die erst 2009 (!!!) gefunden wurde. Leider hilft das hier nicht weiter:
http://ceta.mit.edu/pier/pier97/21.09092503.pdf
Ich glaube wir können ganz froh sein, wenigstens eine analytische Näherung für die gestellte Frage zu besitzen...
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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